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Mostrando las entradas de septiembre, 2012

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR PDF TEORÍA, EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS

COEFICIENTES GENÉRICOS Y ANÁLISIS DE DERIVADAS EN ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS
Los procesos de derivación de funciones específicas, y muy particularmente las propiedades de esas derivadas, pueden utilizarse para orientar la definición de potenciales soluciones a las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas (en acápites posteriores se analizarán las ecuaciones diferenciales lineales generales de orden superior cuya solución arranca por el análisis de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas asociadas). Esas posibles soluciones, en su forma más genérica, se derivan y reemplazan en la ecuación diferencial obteniéndose expresiones algébricas equivalentes con formato tradicional, que nos permiten definir las soluciones exactas.

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES PDF TEORÍA, EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS

La resolución de las Ecuaciones Diferenciales persigue encontrar expresiones equivalentes que, prescindiendo de derivadas o diferenciales, satisfagan las condiciones de esas ecuaciones. En otros términos, la determinación de las “Funciones Primitivas ” constituye la parte fundamental de la solución de las ecuaciones diferenciales
MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES
Consiste en colocar, en expresiones separadas de la ecuación diferencial, las funciones de cada variable con su respectivo diferencial y proceder a la integración. Los detalles característicos de la ecuación diferencial son los que definen los mecanismos para lograr la separación de las variables.

MÉTODO DE EULER PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE TÉCNICAS NUMÉRICAS PARA LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Introducción a los métodos numéricos
El cálculo numérico es una especialidad de la matemática cuyo objetivo es formular los problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse mediante operaciones aritméticas.
El método de Euler

CAMPOS DE PENDIENTES Y LÍNEAS DE FASE PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE TÉCNICAS CUALITATIVAS PARA LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Técnicas Cualitativas
Hasta ahora hemos estudiado técnicas analíticas para calcular, mediante integración, las soluciones de algunas ecuaciones diferenciales de primer orden. Desgraciadamente, estas técnicas sólo sirven para hallar soluciones analíticas de muy pocas ecuaciones. Y lo que es peor, no se puede esperar descubrir métodos que permitan hallar, mediante técnicas analíticas, soluciones a muchas ecuaciones. Por ello debemos considerar también la posibilidad de estudiar las ecuaciones diferenciales mediante otros métodos.
Campos de Pendientes
Algunos casos particulares importantes
Campo de pendientes para ecuaciones autónomas

EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LAS SOLUCIONES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA Y CÁLCULO OPERACIONAL

Ahora ya sabemos que para una ecuación diferencial de primer orden hay, en general, infinitas soluciones determinadas por una constante arbitraria. Esta constante queda determinada en cuanto imponemos una condición inicial, y parece que a condiciones iniciales diferentes les corresponden constantes, y por lo tanto soluciones, diferentes. Pero¿ es este en realidad el caso?.
Existencia y Unicidad de las Soluciones
Teorema de Existencia
Unicidad
Teorema de Unicidad
Aplicaciones del Teorema de Unicidad
Papel de las Soluciones de Equilibrio
Unicidad y Análisis Cualitativo

ECUACIONES EXACTAS Y CAMBIOS DE VARIABLES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA Y CÁLCULO OPERACIONAL

Ecuaciones Exactas
Las ecuaciones exactas están relacionadas con las llamadas diferenciales exactas, o mejor, con la existencia de campos conservativos.
Factores Integrantes
Cambios de Variables
Hay algunas ecuaciones que no son exactas ni reducibles a exactas mediante factores integrantes sencillos (recordemos que las ecuaciones en variables separables son exactas y las lineales son reducibles a exactas mediante un factor integrante que sólo depende de la variable independiente).

ECUACIONES SEPARABLES Y LINEALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA Y CÁLCULO OPERACIONAL

Técnicas analíticas para las Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones en Variables Separables
Soluciones de equilibrio
Ecuaciones Lineales de Primer Orden
El Problema de Condiciones Iniciales
Ecuaciones en variable separables
Ecuaciones lineales

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA Y CÁLCULO OPERACIONAL

Ecuaciones Diferenciales en las Ciencias y la Ingeniera
Ley de enfriamiento de Newton
Flujo calorífico radial
De todas formas, cuando una ecuación diferencial surge en el estudio de un problema real, lo habitual es designar a las variables con letras significativas que nos recuerden los objetos que se están estudiando. Esto es lo que hicimos en el ejemplo del estudio de la variación de la temperatura de la barra. En esa situación la función incógnita la designamos con la letra T, por ser la temperatura el objeto de estudio, y por ser el tiempo la variable independiente, la designamos por t.

NÚMEROS COMPLEJOS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA Y CÁLCULO OPERACIONAL

Operaciones algebraicas
Representación geométrica
Valor absoluto y conjugado
Propiedades de la conjugación
Propiedades del valor absoluto
Desigualdad Triangular
Coordenadas polares
Identidades entre argumentos
Forma polar de un número complejo
Fórmula de Euler
Potencias y raíces
Regiones en el plano complejo

ASPECTOS GENERALES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PDF TEORÍA, EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS

ECUACIÓN DIFERENCIAL
FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
Es una expresión equivalente a la ecuación diferencial que carece de derivadas y diferenciales. A pesar de utilizarse el término “función”, la expresión obtenida puede ser también una “relación” matemática.
ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS
FUNCIONES HOMOGÉNEAS
ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

MATRICES PDF TEORÍA, EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES

MATRIZ
Es un conjunto de expresiones numéricas organizadas tabularmente (en forma de tabla) en filas y columnas. Toda la matriz se agrupa mediante el símbolo de corchetes “[ ]” o el de paréntesis extendido “( )” colocado exteriormente.
ELEMENTOS DE UNA MATRIZ
Cada uno de los valores numéricos, que ocupa una posición de fila y una de columna, se denomina elemento de la matriz.
ORDEN DE UNA MATRIZ
IGUALDAD DE MATRICES
MATRICES CUADRADAS Y RECTANGULARES
MATRIZ NULA

DESIGUALDADES E INECUACIONES PDF TEORÍA, EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES

DESIGUALDAD
INECUACIÓN
Se denomina inecuación a toda desigualdad que incluye al menos una variable en su descripción
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS DESIGUALDADES E INECUACIONES
Para representar gráficamente las desigualdades o inecuaciones se puede utilizar como referente la Recta Real o los Diagramas de Coordenadas Cartesianas de 2 y 3 dimensiones, dependiendo del número de variables involucradas.

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES A LA ADMINISTRACIÓN PDF TEORÍA, EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES

Muchos problemas relacionados con la administración, la economía y las ciencias afines, además de la vida real, requieren la utilización de funciones lineales y otros tipos de funciones para su modelamiento, su comprensión, y fundamentalmente para la toma de decisiones. En muchas ocasiones, la sola comparación entre las funciones tipo y el comportamiento de las variables en un problema administrativo, económico o similar permite obtener los modelos más apropiados.
MODELOS MATEMÁTICOS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE LA ADMINISTRACIÓN

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PDF TEORÍA, EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES

ESPACIOS DE TRES DIMENSIONES
FUNCIONES LINEALES
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Consiste en reducir progresivamente el orden del sis tema de ecuaciones, despejando una de las incógnitas de una de las ecuaciones, y reemplazar esta expresión en las ecuaciones restantes. Al realizar repetitivamente este proceso se reduce uno a uno el orden del sistema hasta llegar a una ecuación con una incógnita. En este punto se calcula el valor de la única incógnita, y mediante reemplazos regresivos se calculan los valores de las otras incógnitas.

LA LÍNEA RECTA PDF TEORÍA, EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES

ECUACIÓN PUNTO – PENDIENTE
Como se demostró en los ejemplos anteriores, si se conoce un punto por el que pasa una recta y su pendiente, es factible definir la ecuación de la recta.
ECUACIÓN PENDIENTE – ORDENADA AL ORIGEN
Un caso especial de la ecuación de la recta que pasa por un punto determinado y se conoce su pendiente es aquel en que se fija en qué punto intercepta la recta al eje de las “y” y se define su pendiente. La forma simplificada de esta ecuación recibe el nombre de Ecuación Pendiente – Ordenada al Origen.
ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS
ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA

INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES PDF TEORÍA, EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES

FUNCIÓN
Es un conjunto de correspondencias entre elementos de dos conjuntos numéricos, de modo que a cada elemento del primer conjunto, llamado Dominio, le corresponde un único elemento perteneciente al segundo conjunto, llamado Rango o Codominio.
RELACIÓN
Si al menos a un elemento del primer conjunto (Dominio) le correspondiera más de un elemento en el segundo conjunto (Codominio), en lugar de definir una función se estaría describiendo una relación matemática.
FUNCIÓN INVERSA
FUNCIONES COMPUESTAS
COORDENADAS CARTESIANAS
REPRESENTACIÓN DE LOS PUNTOS EN EL SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LAS FUNCIONES Y MATRICES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES

CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conforme el ser humano fue incrementando la complejidad de su pensamiento matemático, aparecieron tipos de números que respondieron a esa evolución. La agrupación de aquellos números, con características similares, dio lugar a los conjuntos numéricos.
NÚMEROS NATURALES
NÚMEROS ENTEROS
NÚMEROS RACIONALES
NÚMEROS IRRACIONALES
NÚMEROS REALES

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES

CONJUNTOS NUMÉRICOS
NÚMEROS NATURALES
NÚMEROS ENTEROS
NÚMEROS RACIONALES
NÚMEROS IRRACIONALES
NÚMEROS REALES
RECTA REAL
NÚMEROS IMAGINARIOS
POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA
NÚMEROS COMPLEJOS
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
NOTACIÓN ALGÉBRICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
NOTACIÓN POLAR DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
EQUIVALENCIA ENTRE LAS NOTACIONES DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS 1

Autovalores y vectores propios. Propiedades
Polinomio característico
Multiplicidad algebraica y geométrica de un autovalor
Matrices semejantes. Propiedades
Matrices diagonalizables
Teorema de Cayley-Hamilton
Diagonalización por congruencia

ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS 1

La estructura de espacio vectorial despliega una gran capacidad operativa cuando incorpora los conceptos de distancia y ángulo entre sus elementos. Para integrar estas dos cualidades métricas en un espacio vectorial es preciso definir en él un producto escalar, el cual otorga a dicho espacio el calificativo de euclídeo, de modo que a todo espacio vectorial dotado de un producto escalar se le denominará espacio vectorial euclídeo.
Espacio vectorial euclídeo
Ortogonalidad. Propiedades
Norma. Propiedades
Proyecciones en espacios euclídeos
Método de los mínimos cuadrados
Ajuste de datos con el método de los mínimos cuadrados

ESPACIOS VECTORIALES YAPLICACIONES LINEALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS 1

Espacios Vectoriales
Propiedades de un Espacio Vectorial
Propiedades de los Sistemas Libres y Ligados
Subespacios Vectoriales. Operaciones con Subespacios
Bases de un Espacio Vectorial. Dimensión
Relación entre Dimensiones
Cambio de Base
Aplicaciones Lineales
Nomenclatura
Matriz Asociada a una Aplicación Lineal.
Operaciones con Homomorfismos y sus Matrices Asociadas
Cambios de Bases

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS 1

Sistemas de Ecuaciones en General
Sistemas Equivalentes
Sistemas de Cramer
Teorema de Rouché - Fröbenius
Sistemas Homogéneos
Método de Eliminación de Gauss
Método de Eliminación de Gauss - Jordan
Errores de Redondeo y algunas estrategias de redondeo
Métodos de Factorización
Factorización LU
Factorización LDU’
Factorización de Matrices Simétricas
Factorización de Matrices Simétricas Definidas Positivas

MATRICES Y DETERMINANTES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS 1

En este punto del temario surge un dilema para el profesor. Si se persigue una rigurosidad matemática habría que comenzar este segundo bloque definiendo la estructura de Espacio Vectorial, para a continuación y como ejemplo, definir las Matrices, pasando posteriormente a las aplicaciones lineales, los sistemas de ecuaciones y finalmente como ejemplo de aplicación multilineal, dar los determinantes.
Matrices
Operaciones con Matrices
Equivalencia de Matrices. Transformaciones Elementales de Matrices.
Cálculo de la Matriz Inversa
Determinantes.
Desarrollo de un Determinante
Propiedades de los Determinantes
Expresión de la Matriz Inversa

INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS 1

En este capítulo se ha tratado de introducir el lenguaje en el que se expresan las Matemáticas por lo que inicialmente puede resultar innecesario tratar de buscar aplicaciones de algo cuya utilidad es servir de fundamento. Esto ya de por si es suficiente aplicación. Sin embargo, dado el interés eminentemente práctico de un estudiante de Ingeniería conviene utilizar algunas aplicaciones del lenguaje de la Teoría de Conjuntos como motivación para su interés.
Conjuntos y Subconjuntos
Operaciones con Conjuntos. Propiedades
Relaciones Binarias: Equivalencia y Orden
Aplicaciones
Tipos de Aplicaciones. Composición de Aplicaciones
Grupos, Anillos y Cuerpos

INFERENCIA ESTADÍSTICA PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS 2

Inferir: Sacar una consecuencia de una cosa. Sacar consecuencia o deducir una cosa de otra. La estadística, ciencia o rama de las Matemáticas que se ocupa de recoger datos, analizarlos y organizarlos, y de realizar las predicciones que sobre esos datos puedan deducirse, tiene dos vertientes básicas:
a) Estadística descriptiva: Básicamente se ocupa de la 1ª parte, es decir, a partir de ciertos datos, analizarlos y organizarlos. Es aquí donde tiene sentido calcular la media, mediana, moda, desviación media, desviación típica, etc.
b) Estadística inferencial: Se ocupa de predecir, sacar conclusiones, para una población tomando como base una muestra (es decir, una parte) de dicha población. Como todas las predicciones, siempre han de hacerse bajo un cierto grado de fiabilidad o confianza. Será esta ´ultima vertiente de la estadística la que estudiemos en este tema.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y DISTRIBUCIÓN NORMAL PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS 2

Estudiaremos en este tema dos de las distribuciones de probabilidad más importantes y que son imprescindibles a la hora de adentrarnos en el estudio de la inferencia estadística. La distribución binomial es uno de los primeros ejemplos de las llamadas distribuciones discretas (que sólo pueden tomar un número finito, o infinito numerable, de valores).
La distribución binomial o de Bernoulli
Definición de distribución binomial
El uso de las tablas de la distribución binomial
Probabilidades acumuladas
Media y desviación típica en una distribución binomial
La distribución Normal

GEOMETRÍA VECTORIAL PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA

Vectores unitarios
Producto punto
Norma de un vector
Ángulo entre dos vectores
Ortogonalidad
Proyección ortogonal
Producto cruz
Área de un paralelógramo y de un triángulo
Triple producto escalar
Triple producto vectorial

TRASLACIÓN Y ROTACIÓN PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

La necesidad del estudio de Lugares Geométricos de puntos más complejos en un sistema de referencia que en otro y las inter relaciones entre ellos, hace necesario definir la traslación paralela de los ejes coordenados y también la rotación en torno a un punto dado, que muy bien puede ser el origen o el nuevo origen una vez efectuada la traslación.
Traslación
Rotación

LA CIRCUNFERENCIA PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

Definición
Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto Fijo del mismo plano. Dicho punto fijo se llama centro, a la distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro se acostumbra a llamar radio.
Forma general centro y radio
Casos Notables
Familias
Tangencia

LA RECTA PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

Definición
Ecuación punto pendiente
Ecuación que pasa por dos puntos
Diversas formas de la ecuación de una recta
Forma General de una recta
Ecuación Normal
Angulo entre dos rectas
Paralelismo y Perpendicularidad
Distancia de un punto a una recta
Distancia Dirigida
Familias
Familia de rectas por la intersección de dos rectas dadas
Familia de perpendiculares a una recta dada
Familia de paralelas a una recta dada
Tópicos Varios

SISTEMA BIDIMENSIONAL PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

Sistema Cartesiano
La correspondencia entre pares ordenados de números reales y puntos en el plano, idea inicial que se debe a Renato Descartes (1596 - 1650), es lo que planteamos en forma breve a continuación.
Distancia entre dos puntos
División de un Segmento en una razón dada
Coordenadas del Punto medio de un trazo
Pendiente
Paralelismo y Perpendicularidad
Lugares Geométricos - Ecuación

SISTEMA UNIDIMENSIONAL PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

Sistema coordenado lineal
Sobre una recta fijamos un punto O, al cual se acostumbra a llamar origen, un sentido (de los dos que tiene esta recta) lo designaremos como positivo y el otro como negativo y sobre el definimos un segmento unidad, así diremos que dicha recta esta metrizada (o que en ella podemos medir distancias)
Relación Fundamental – Distancia
Distancia
División de un segmento en una razón dada

TRIÁNGULOS PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Relaciones elementales
Ángulos exteriores
Teorema del seno
Teorema de las proyecciones
Teorema del coseno
Equivalencia
Fórmulas de Briggs
Fórmulas de las tangentes
Área de un triangulo
Resolución de triángulos
Triángulos cualesquiera

LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Relaciones y sus inversas
Gráfico de la Relación inversa del seno
Definiciones de las funciones trigonométricas inversas y sus gráficos
Función inversa del seno
Función inversa del coseno
Función inversa de la tangente
Funciones inversas de: la cosecante, secante y cotangente
Resolución de ecuaciones trigonométricas
Ecuaciones con funciones trigonométricas inversas

LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

El círculo trigonométrico
Vamos a suponer conocido el sistema cartesiano en lo que se refiere a conceptos fundamentales como son los de abscisa y ordenada de un punto, ubicación de diferentes puntos en el plano, algunas relaciones como por ejemplo, la distancia entre dos puntos dados.
Definiciones
Propiedades
Signos
Periodicidad
Paridad
Identidades fundamentales
Variación de las funciones trigonométricas y sus gráficos
Función seno
Función coseno
Función tangente

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Definiciones razones trigonométricas
Propiedades
Sin caer en error alguno, usaremos la palabra razón trigonométrica o bien función trigonométrica de un ángulo agudo positivo.
Razones de ángulos especiales
Identidades fundamentales
Recordemos que una identidad matemática es una igualdad que siempre es válida, para todos los valores que puedan tomar las variables involucradas.

COMBINATORIA ELEMENTAL PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA

Principios fundamentales
Principio de la multiplicación
Principio de la suma
Permutaciones
Permutaciones con repetición
Combinaciones
Particiones
Los problemas que intentaremos tratar conducen a las particiones de un conjunto, es decir que los elementos u objetos que intervienen deben particionarse en dos o más conjuntos que verifican ciertas condiciones. Es usual confundirlas con las permutaciones y combinaciones con repetición, por la similitud de sus fórmulas, pero los problemas en si son distintos.

TEOREMA DEL BINOMIO PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA

Definición teorema del binomio
Factoriales
Coeficientes Binomiales
Definición de Coeficientes Binomiales
Teorema del Binomio

SUCESIONES, INDUCCIÓN Y SUMATORIAS PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA

Sucesiones
El gráfico de una sucesión, aunque no es relevante, es un conjunto discreto de puntos que siempre se encuentran en el primer o en el cuarto cuadrante de los ejes cartesianos.
Inducción y sumatorias
Una sumatoria es un símbolo que se ocupa para denotar en forma comprimida la suma sucesiva de los términos de una sucesión.

RELACIONES Y FUNCIONES PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA

Producto Cartesiano
Número de elementos
Relaciones
Dominio y Recorrido
Clase de equivalencia
Relación inversa

INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA Y A LA TEORÍA DE CONJUNTOS PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA

En el algebra actual tiene importancia y muy especialmente en el cálculo que se efectúa con procesadores electrónicos, el análisis del lenguaje desde un punto de vista lógico. Las expresiones de este lenguaje pueden tomar formas complicadas, pero el análisis de sus partes ofrece la alternativa de desentrañar la esencia de la lógica de las formas expresivas más complejas.
Elementos de lógica
Formas proposicionales
Cuantificadores
Negación de cuantificadores

APLICACIONES DERIVACIÓN PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO 1

Regla de L’Hˆopital
Monotonía, Valores Extremos, Concavidad e Inflexiones de una Función
Función Decreciente
Valores Extremos
Máximo-Mínimo
Máximo-Mínimo Relativos
Necesidad para la Existencia de Valores Extremos
Suficiencia para la Existencia de Valores Extremos
Criterio de la primera derivada
Criterio de la Segunda Derivada
Concavidad e Inflexiones
Punto de Inflexión
Optimización de Problemas Aplicados
Estudio de Funciones y sus Gráficos

LAS TÉCNICAS DEL CÁLCULO DERIVACIÓN PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO 1

Derivación de Funciones Compuestas (Regla de la Cadena)
Derivada de la Función Inversa
Fórmulas de Derivación de las Funciones Básicas
Derivadas de Orden Superior
Derivada de una Función Implícita
Derivada de una Función Representada Paramétricamente

LA RELACIÓN FUNDAMENTAL PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO 1

La Derivada de la Integral Indefinida
Primer Teorema
Definición de Primitiva
Correspondencia entre Primitiva e Integral Indefinida
El uso de primitivas para calcular integrales(Regla de I. Barrow)

LA DERIVADA PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO 1

Definición de la Derivada
Propiedades Básicas
Diferenciales
Teoremas Fundamentales
Teoremas De Fermat
Teoremas De Rolle
Teoremas Del Valor Medio
Constancia de una función
Teoremas  De Cauchy

LA INTEGRAL DEFINIDA PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO 1

Partición
Suma Superior y Suma Inferior
Propiedades La Integral Definida
Definición Integral Definida
Propiedades elementales de la Integral Definida
Teorema del valor medio
Integrales Indefinidas
Continuidad de las Integrales Indefinidas
Las Funciones: Logaritmo y Exponencial

LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO 1

Definición de límites de funciones y continuidad
Teoremas básicos
Es fácil verificar los teoremas básicos antes mencionados para las sucesiones convergentes, dan lugar a los correspondientes teoremas básicos para límites de funciones.
Continuidad
El que una función sea continua en un intervalo completo significa simplemente que es continua en todos los puntos de dicho intervalo, en forma grafica no tiene saltos en el intervalo.

SUCESIONES-LÍMITE DE UNA SUCESIÓN PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO 1

La noción de sucesión es un instrumento importante para el estudio de un gran número de problemas relativos a las funciones.
Teoremas Básicos
Criterios de convergencia
Teorema de Bolzano-Weierstrass
Teorema del Sandwich

FUNCIONES REALES PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO 1

Propiedades de funciones reales 
Una función f definida en un conjunto A es monótona si no tiene oscilaciones, es decir, si al crecer x los valores de f(x) siempre crecen o siempre decrecen.
Transformaciones simples de los gráficos

NÚMEROS REALES PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO 1

Llamaremos número real a cualquier fracción decimal. Ejemplos: 
-2; 0; 2; 3333...; 2; 25; -0;785; 3; 141592...; 2;7182818...; -1;4142136...
Intervalos y Entornos
Valor Absoluto / Modulo

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS 1

Los sistemas de ecuaciones lineales tienen muchas aplicaciones en todos los campos y ciencias y ya desde a. C. se tenían métodos para resolver los sistemas. Estudiaremos sobre todo el método llamado de eliminación gaussiana o de Gauss, porque es la base de los procedimientos que se utilizan para resolver un sistema con el ordenador y asimismo para el estudio de los temas que siguen, Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales.
INTRODUCCIÓN Y DEFINICIONES
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES

MATRICES Y DETERMINANTES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA 1

DEFINICIÓN Y DESCRIPCIÓN DE MATRICES
OPERACIONES CON MATRICES
MATRICES CUADRADAS
Definiciones en las matrices cuadradas
Tipos de matrices cuadradas
Matiz estrictamente triangular
Matriz diagonal
Matriz escalar
Matriz inversa
Matriz simétrica
Matriz antisimétrica
Propiedades de las matrices cuadradas
TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA
Cálculo de un determinante
Método de Sarrus
Cálculo del determinante de orden n, por los adjuntos
Método del pivote o de Chio
Método triangularizante
CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA DE UNA DADA
OPERACIONES ELEMENTALES
Operaciones elementales inversas
Matrices equivalentes por filas

ENDOMORFISMOS Y DIAGONALIZACIÓN PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA LINEAL

ENDOMORFISMOS BIYECTIVOS
SEMEJANZA DE MATRICES
Definición: Matrices semejantes
VALORES Y VECTORES PROPIOS
Cálculo de los valores y vectores propios
Método general p ara calcular los valores y vectores propios
DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES
Dimensión de los subespacios propios
Método general para diagonalizar matrices
Ver si es diagonalizable
Diagonalizar, en el caso de que sea diagonalizable
Teorema: Matrices reales simétricas
Uso de la diagonalización para calcular potencias de una matriz
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EL CÁLCULO DE VECTORES PROPIOS
Círculos de Gershgorin
Método de las potencias

APLICACIONES LINEALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA LINEAL

INTRODUCCIÓN: APLICACIONES ENTRE CONJUNTOS
Clasificación de las aplicaciones
APLICACIONES LINEALES. PROPIEDADES
Definición: Aplicación lineal
Teorema: Transformación de subespacios
Teorema: imagen de un sistema generador
Teorema: imagen de conjuntos dependientes e independientes
NÚCLEO E IMAGEN
Definición: Núcleo
Definición: Subespacio imagen
CLASIFICACIÓN DE APLICACIONES
MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL
Definición: Rango de una aplicación lineal
Definición: Matriz asociada a una aplicación
Ecuación de una aplicación lineal
Cálculo del núcleo e imagen mediante la matriz asociada
MATRIZ DE UNA APLICACIÓN EN DISTINTAS BASES
Definición: Matriz de una aplicación en bases cualesquiera
Relación entre la matriz estándar y la matriz en otras bases
MATRICES EQUIVALENTES
COMPOSICIÓN DE APLICACIONES

EL ESPACIO EUCLÍDEO PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA LINEAL

Propiedades del producto escalar usual
Definición: Producto escalar en cualquier espacio. Espacio euclídeo
Ejemplos de producto escalar
Conceptos geométricos obtenidos del producto escalar
Vectores ortogonales
Norma o módulo de un vector
Distancia entre dos vectores
Ángulo entre dos vectores
Teorema (Desigualdad de Cauchy-Schwarz)
Definición: Normalización. Conjunto ortonormal
Definición (Matriz ortogonal)
Propiedades de las matrices ortogonales
SUBESPACIOS ORTOGONALES
Definición (vector ortogonal a un subespacio)
Definición: Subespacios ortogonales
Definición: Complemento ortogonal
Construcción del complemento ortogonal
PROYECCIONES ORTOGONALES
Proyección ortogonal de un vector sobre otro
Proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio
Coordenadas de un vector en una base ortogonal
CÁLCULO DE BASES ORTOGONALES
Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt
LA MATRIZ DE PROYECCIÓN
Propiedades de la matriz de proyección

BASES Y DIMENSIÓN PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA LINEAL

Propiedades de las bases
Ejemplos de bases
Teorema y definición: Dimensión
Ejemplos de dimensión
Propiedades de la dimensión
IMPLICITACIÓN
COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Definición: Coordenadas
Ejemplos de coordenadas
Coordenadas en un subespacio
Definición: Matriz del cambio de base
Propiedades de las matrices de cambio de base
SUMA DIRECTA Y SUBESPACIOS SUPLEMENTARIOS
Definición: Suma directa
Fórmulas de las dimensiones
Definición (subespacio suplementario)
Cálculo de una base de un suplementario

ESPACIOS VECTORIALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA LINEAL

Propiedades de la suma de vectores
Propiedades del producto de un vector por un escalar
Definición: espacio vectorial
Ejemplos de espacios vectoriales
SUBESPACIOS VECTORIALES
Definición: Subespacio
Ejemplos de subespacios
Relación entre la forma implícita y paramétrica
Inclusión de subespacios
OPERACIONES CON SUBESPACIOS
Intersección de subespacios
Teorema
Cálculo de la intersección
Suma de subespacios
Cálculo del subespacio suma
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
Definición: Combinación lineal
Definición: Independencia lineal
Propiedades de la dependencia / independencia lineal

GEOMETRÍA DE CURVAS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL

Curvas en el espacio
Longitud de Arco y Vector Tangente Unitario
Parametrización respecto del arco
El Vector Tangente Unitario
Curvatura y Vector Normal Principal
Curvatura de Curvas en el Espacio
Vector Normal Principal
Componentes Normal y Tangencial de la Aceleración
Fórmula para el Cálculo de la Curvatura
Torsión y Triedo de Frenet
Vector Binormal y Triedro de Frenet
Fórmulas para el Cálculo de la Torsión
Fórmulas de Frenet

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL

Funciones Reales de Varias Variables
Representación Gráfica
Funciones de dos variables
Funciones de tres variables
Límites y Continuidad
Límites
Límites Direccionales
Continuidad
Funciones de Tres o Más Variables
Derivadas Parciales
Funciones de Dos Variables
Derivadas Parciales de Orden Superior
Funciones de Tres o Más Variables
Diferenciabilidad
Funciones de Dos Variables
Funciones de Tres o Más Variables
Regla de la Cadena
Regla de la Cadena para dos Variables
Forma General de la Regla de la Cadena
Derivación Implícita
Derivadas Direccionales-Gradiente
Derivadas Direccionales
Vector Gradiente
Funciones de Tres Variables
Máximos y Mínimos
Puntos Críticos y Extremos
Estudio de Máximos y Mínimos

FUNCIONES VECTORIALES Y CURVAS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL

Funciones Vectoriales
Límite de una Función Vectorial
Derivada de una Función Vectorial
Reglas de Derivación 
Longitud de un Arco de Curva
Area de una Superficie de Revolución
Giro Alrededor del Eje OX
Giro Alrededor del Eje OY
Coordenadas Polares
Definición
Relación entre Coordenadas Cartesianas y Polares
Curvas en Coordenadas Polares 
Area en Polares de una Región Plana
Longitud de una Curva en Coordenadas Polares
Coordenadas Cilíndricas y Esféricas
Coordenadas Cilíndricas
Coordenadas Esféricas  

SUCESIONES Y SERIES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL

Límite de Sucesiones
Sucesiones. Definición y Representación
Las sucesiones pueden tomar valores en cualquier conjunto. No obstante al hablar de sucesiones entenderemos sucesiones reales, i.e. sucesiones cuyos términos son números reales. Como cualquier función las sucesiones pueden ser representadas mediante una expresión, un algoritmo, una lista o una gráfica.

INTEGRACIÓN PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL

Integrales Indefinidas
Antiderivadas
Integrales Inmediatas
Propiedades de las Integrales Indefinidas
Métodos para el Cálculo de Antiderivadas
Problemas de Valores Iniciales
Integrales Definidas
Area Limitada por una Curva y el eje OX
Distancia Recorrida por un Móvil
La Integral de Riemann
Propiedades de las Integrales Definidas 
Integración de Funciones Definidas a Trozos
Teorema del Valor Medio 
Teoremas Fundamentales del Cálculo
Primer Teorema Fundamental del Cálculo
Segundo Teorema Fundamental del Cálculo
Funciones Definidas por Integrales
Integrales Dependientes del Extremo Superior
La Función Logaritmo y La Función Exponencial
Integrales Impropias
Aplicaciones del Cálculo Integral
Area de Figuras Planas

TEOREMA DEL VALOR MEDIO Y APLICACIONES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL

Teorema del Valor Medio
Condición Necesaria de Máximo o Mínimo
Teorema de Rolle 
Teoremas del Valor Medio
Consecuencias del Teorema del Valor Medio
Crecimiento y Decrecimiento 
Concavidad y Convexidad 
Regla de L'Hopital para el Cálculo de Límites
Aplicaciones del Cálculo Diferencial
Problemas de Máximos y Mínimos
Análisis de Gráficas

DERIVADAS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL

El Concepto de Derivada
¿Cómo Definir la Tangente a una Curva?
La Derivada en un Punto
Significado de la Derivada
Ejemplos de Funciones Diferenciables
Derivadas Laterales
Continuidad de las Funciones Diferenciables
Aproximación Lineal
Derivación
Algebra de Derivadas
Reglas Algebraicas de Derivación
Derivadas de las Funciones Polinómicas y Racionales
Derivadas de las Funciones Trigonométricas
Composición y Derivadas
Regla de la Cadena
Derivación Implícita
Derivación de Funciones Inversas
Regla de la Derivada de la Inversa
Derivadas de Potencias de Exponente Racional
Derivada de las Funciones Trigonométricas Inversas
Derivada del Logaritmo y de la Exponencial
Derivada de las Funciones Hiperbólicas y sus Inversas
Derivadas de Funciones Definidas a Trozos

LÍMITE DE FUNCIONES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL

Manteniendo una Función Alrededor de un Valor de Referencia
Ejemplos de Límites Mediante la Definición
Unicidad del Límite
Límites y Acotación
Cálculo de Límites
Algebra de Límites
Formas Indeterminadas
Límites y Valor Absoluto
Regla del Sandwich
Extensiones del Concepto de Límite
Límites Laterales
Límites Infinitos. Asíntotas Verticales
Límites en el Infinito. Asíntotas Horizontales
Funciones Continuas
Discontinuidades
Operaciones con Funciones Continuas
Continuidad de las Funciones Elementales
Funciones Algebraicas
Funciones Trigonométricas
Funciones Exponencial, Logaritmo e Hiperbólicas
Dos Propiedades Importantes de las Funciones Continuas

FUNCIONES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL

Concepto de Función
Representación de Funciones
Expresiones
Algoritmos
Combinación de Funciones
Algebra de Funciones
Composición de Funciones
Funciones como Combinación de Funciones
Funciones Inversas
Propiedades
Paridad e Imparidad. Simetrías
Máximos y Mínimos
Cotas. Supremo e Infimo
Crecimiento y Decrecimiento. Monotonía
Concavidad y Convexidad
Funciones Elementales
Funciones Polinómicas
Funciones Racionales
Funciones Algebraicas
Funciones Transcendentes
Funciones Trigonométricas
Funciones Seno y Coseno
Otras Funciones Trigonométricas
Funciones Trigonométricas Inversas

NÚMERO REALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL

La recta Real
Conjuntos
Números reales
Representación decimal
Representación Geométrica
Ampliación de la recta
Intervalos
Valor Absoluto
El plano Cartesiano
Coordenadas cartesianas
Distancia Punto Medio
Rectas 
Circunferencias

SISTEMA DE COORDENADAS POLARES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE SERIES NÚMERICAS

Para definir las coordenadas polares de un punto en el plano fijamos inicialmente en él un punto O llamado origen (polo) y un rayo inicial (eje polar) desde O (figura 1a).
Relación entre las coordenadas rectangulares y polares
Gráfica de ecuaciones en coordenadas polares
Algunas gráficas importantes en coordenadas polares
Elementos adicionales para trazar curvas en polares

MÉTODOS DE APROXIMACIÓN EN EL CÁLCULO PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INTEGRAL

Fórmula de Taylor
En esta primera parte nos proponemos desarrollar un método general que nos permita encontrar, dada una función derivable cualquiera y un punto de su dominio, una función polinómica cuya gráfica pase por dicho punto y que nos haga posible estimar, con un error menor que un valor previamente elegido, los valores que toma la función en un intervalo abierto que contenga al punto en mención (a este intervalo se le llama entorno del punto).
Método de Newton (para el cálculo de raíces)
Métodos numéricos de integración
Regla del trapecio

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES POR MEDIO DE SERIES DE POTENCIAS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE SERIES NÚMERICAS

James Gregory
James Gregory, matemático y astrónomo escocés, nació en Drumoak en 1638 y falleció en Edimburgo en 1675. Hizo sus primeros estudios en el Marischal College de Aberdeen y posteriormente se trasladó a Londres, en donde completó su formación como matemático, publicó su primera obra, Avances de la óptica, y trabó amistad con el influyente Robert Moray, antiguo presidente de la Royal Society. Con las cartas de recomendación de Moray en su poder, viajó a Francia e Italia, en donde estudió geometría, mecánica y astronomía.
Representación en serie de Taylor
Serie binomial

INTERVALO DE CONVERGENCIA Y RADIO DE CONVERGENCIA DE UNA SERIE DE POTENCIASPDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE SERIES NÚMERICAS

Takakazu Seki Kowa
Takakazu Seki Kowa nació en una familia de guerreros samurai en marzo de 1642 en Fujioka, Japón. Seki Kowa fue un niño prodigio en matemáticas. A lo largo de su vida acumuló un gran número de libros japoneses y chinos sobre matemáticas, llegando a convertirse en un experto en esta ciencia. Fue conocido como «El sabio de la Aritmética».
Serie de Taylor y serie de Maclaurin
Ejemplos ilustrativos sobre intervalo de convergencia absoluta y radio de convergencia

CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONVERGENCIA CONDICIONAL PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE SERIES NÚMERICAS

Todo el desarrollo teórico sobre series considerado hasta aquí es aplicable solamente a series con términos no negativos, pero las series con términos no positivos pueden ser tratadas de la misma forma.
Series alternas
Criterio de Leibniz para series alternas
Convergencia absoluta y convergencia condicional
Criterio del cociente para convergencia absoluta

CRITERIOS DE CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA DE SERIES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE SERIES NÚMERICAS

Condición necesaria para la convergencia de series
Criterio de divergencia de series
Criterio de la integral
Criterio de comparación y comparación en el límite
Criterio del cociente
Criterio de la raíz
Criterio de Raabe
Álgebra de series convergentes
Las proyecciones
Una proyección puede definirse como una red de paralelos y meridianos sobre la cual puede ser dibujado un mapa. Para trazar las proyecciones se emplean actualmente cálculos matemáticos muy precisos, pero la idea general se basa en la proyección de las sombras de los meridianos y paralelos de una esfera sobre una superficie que puede convertirse en plana sin deformaciones, tal como la superficie cilíndrica o la cónica.

SERIES DE TÉRMINOS CONSTANTES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE SERIES NÚMERICAS

Definiciones y primeros ejemplos de series
La serie geométrica
La serie telescópica
Series aritmético-geométricas
Cuando se hace referencia a una serie infinita se quiere expresar la suma de un
número infinito de términos constantes. Como se sabe, la suma entre números reales es una operación «binaria», es decir, sólo se pueden sumar dos números reales para producir un número real.

SUCESIONES DE NÚMEROS REALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INTEGRAL Y SERIES

Cuando se piensa en el concepto de sucesión, es natural pensar en ella como algo que no necesita definición. Es decir, es como si se colocaran números u otros objetos en un orden determinado.
Definición y ejemplos de sucesiones de números reales
Gráfica de una sucesión
Por ser una sucesión una función de los naturales en los reales, su gráfica está íntimamente relacionada con la gráfica de su función asociada de los reales en los reales.
Límite de sucesiones

LOS TEOREMAS DE PAPPUS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INTEGRAL Y SERIES

En el siglo III d.C. Pappus de Alejandría descubrió dos fórmulas que relacionan los anteriores teoremas con las áreas de superficie y con los volúmenes de sólidos de revolución. Dichas fórmulas simplifican notoriamente los cálculos que de la manera usual serían largos y tediosos. En este módulo presentaremos dichos teoremas y los ilustraremos con algunos ejemplos ya desarrollados en los módulos anteriores.
Teorema de Pappus para áreas de superficie
Teorema de Pappus para sólidos de revolución

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA-MOMENTOS Y CENTROS DE MASA PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INTEGRAL Y SERIES

Muchas estructuras y sistemas mecánicos modelados en ingeniería se comportan como si sus masas estuviesen concentradas en un solo punto, llamado centro de masa. Cuando las masas de los objetos son puntuales (caso discreto), el centro de masa es un cociente de sumatorias, pero en el caso de cuerpos sólidos, que tienen (al menos en el nivel macroscópico) una distribución continua de materia (caso continuo), las sumatorias se reemplazan por integrales y nuestro propósito en este módulo es usar la integral para determinarlo en el caso de varillas delgadas, láminas planas delgadas y sólidos de revolución.
Centro de masa de una varilla o de un alambre
Centro de masa de una región plana o de una lámina delgada

LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA PLANA Y ÁREA DE SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INTEGRAL Y SERIES

Intuitivamente la longitud de un arco de curva plana es la «distancia» recorrida por un móvil desde el punto (a, f (a)) hasta el punto (b, f (b)) siguiendo la trayectoria de la curva y = f (x).Cuando los puntos A(a, f (a)) y B(b, f (b)) están unidos por un segmento de recta, la fórmula de la distancia entre dos puntos nos permite conocer la longitud del segmento o la distancia recorrida por el móvil desde A hasta B, pero si los puntos A y B están sobre una curva, dicha fórmula no es suficiente para determinar la longitud y sin el cálculo no sabríamos a ciencia cierta cuál es la longitud de un arco de curva en general. Para determinarla utilizaremos el concepto de distancia entre dos puntos, lo que nos permitirá definir y calcular dicha longitud como una integral definida.
Longitud de arco de una curva plana
Cálculo de la longitud de los cables en el puente de Occidente

VOLÚMENES DE SÓLIDOS POR SECCIONES TRANSVERSALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INTEGRAL Y SERIES

Usar la integración en aplicaciones geométricas. En particular, usar el principio de Cavalieri para determinar el volumen de un sólido que tiene secciones planas de área conocida, usando el método de rebanadas.
Volumen de un sólido con secciones planas paralelas conocidas
En esta sección estudiaremos el cálculo de volúmenes de sólidos para los cuales es posible expresar el área de cualquier sección plana, perpendicular a una recta fija, en términos de la distancia de la sección plana a un punto fijo de dicha recta.
Volúmenes de sólidos de revolución
Método de las arandelas
Método de la corteza (cascarones) cilíndrica

ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INTEGRAL Y SERIES

Isaac Barrow
El teólogo y matemático inglés Isaac Barrow nació en Londres en 1630 y murió allí
mismo el 4 de mayo de 1677. Barrow es considerado por muchos como uno de los matemáticos más relevantes de su tiempo (sobre todo en geometría), pero históricamente se le ha dado poco mérito al papel que desempeñó en el desarrollo del cálculo a pesar de que los métodos que empleaba eran muy próximos a los que se usan actualmente en esta rama de las matemáticas.
Área entre curvas
Ejemplos resueltos de áreas entre curvas

INTEGRALES IMPROPIAS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INTEGRAL Y SERIES

Integrales impropias tipo I
Integrales impropias tipo II
Pierre-Simon Laplace
Pierre-Simon Laplace nació el 28 de marzo de 1749 en Beaumont-en-Auge, Francia, y falleció el 5 de marzo de 1827 en París. A la edad de dieciocho años, Laplace sobresalía como maestro y matemático en la escuela militar de su pueblo natal. No obstante, para él, París era la única ciudad por la que entraría en el gran mundo de la ciencia. Consiguió cartas de recomendación y, en 1767, partió hacia allí a solicitar la ayuda del distinguido matemático francés Jean D’Alembert.

LOS TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INTEGRAL Y SERIES

Enunciar y demostrar los dos teoremas fundamentales del cálculo. Establecer la relación entre derivación y primitivación Hasta ahora sólo hemos encontrado el valor de pocas integrales definidas. Sabemos de muchas funciones que son integrables, como las funciones continuas, pero no hemos encontrado su valor; además, no hemos utilizado los poderosos instrumentos desarrollados anteriormente, como son las técnicas de integración. Mostraremos ahora que las operaciones de derivación y de integración están íntimamente relacionadas mediante un teorema que muestra cómo la derivada «deshace» la acción de la integral de una función f (t). Posteriormente se presenta el tan esperado segundo teorema fundamental del cálculo para poder completar así los fundamentos teóricos del cálculo integral, cuyas herramientas básicas emplearemos en el próximo capítulo de las aplicaciones.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INTEGRAL Y SERIES

Aunque la mayor parte de las integrales definidas no pueden ser calculadas exactamente, es importante por lo menos saber cuándo una función es integrable sobre [a, b], y ésta es la información más importante que proporciona el teorema 2 de este módulo. Igualmente, en el teorema 1 se presentan otras propiedades importantes de las funciones integrables y de esta forma se simplifican resultados que son difíciles de demostrar recurriendo directamente a la definición de integral definida.
Álgebra de funciones integrables
Propiedades de la integral definida
Relación entre la integral y la continuidad de una función de variable real

INTEGRAL SEGÚN RIEMANN PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INTEGRAL Y SERIES

Área bajo una curva a través de sumas superiores e inferiores
Sumas de Riemann
En este módulo nos ocuparemos del concepto de integral definida de una función acotada en un intervalo cerrado [a, b]. Se parte de un problema particular, como es el problema del área de una región plana, el cual dio origen al cálculo integral. El método expuesto, conocido como «método de los recubrimientos», se debe a Arquímedes, el más grande de los matemáticos griegos y uno de los mayores de toda la historia de la humanidad, quien determinó el área de un segmento parabólico por este método, que aún hoy, después de conocer los modernos métodos infinitesimales, resulta laborioso.

NOTACIÓN SIGMA (Σ) Y PARTICIÓN DE UN INTERVALO PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INTEGRAL Y SERIES

La notación sigma (Σ) y propiedades de la sumatoria
Partición de un intervalo cerrado
Carl Friedrich Gauss
Carl Friedrich Gauss, matemático alemán conocido por sus muy diversas contribuciones al campo de la física, especialmente por sus estudios del electromagnetismo, nació el 30 de abril de 1777 en Brunswick y falleció el 23 de febrero de 1855 en Gotinga. Cuando Gauss tenía diez años de edad su maestro solicitó a la clase que encontrara la suma de todos los números comprendidos entre uno y cien.

INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INTEGRAL Y SERIES

Integración por descomposición en fracciones simples
Integración de funciones racionales propias simples
Integración de funciones simples tipo I y II
Integración de funciones simples tipo III y IV
Johann (Jean) Bernoulli
El matemático suizo Johann Bernoulli, también conocido como Jean (en francés)y John (en inglés), nació en Basilea el 27 de julio de 1667 y murió allí mismo el primer día del año 1748. Fue maestro de Leonhard Euler y padre de Daniel Bernoulli (famoso por sus trabajos en hidráulica), Nicolas Bernoulli y Johann Bernoulli II.

SUSTITUCIONES TRIGONOMÉTRICAS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INTEGRAL Y SERIES

John Wallis Nacido en Ashford en 1616 y fallecido en Oxford en 1703, John Wallis fue el más importante de los matemáticos ingleses inmediatamente anteriores a Newton. Wallis se ordenó sacerdote, pero dedicó la mayor parte de su tiempo a su profesión de matemático. Escribió extensos trabajos de matemáticas y fue el primero en extender el uso de los exponentes a los números negativos y a las fracciones. También utilizó por primera vez el símbolo con el que actualmente se designa el infinito. Además fue el primero en expresar geométricamente los números imaginarios y en escribir una historia seria de las matemáticas.

TABLA PRELIMINAR DE INTEGRALES INDEFINIDAS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INTEGRAL Y SERIES

Antes de exponer los métodos de integración se dará una lista de primitivas (integrales indefinidas) para las funciones ya conocidas. La tabla que se presenta seguidamente reúne las integrales o primitivas de las funciones estudiadas hasta el momento.
Primera tabla de integrales
Integración por partes
Fórmula para la integración por partes
Observaciones importantes del método de integración por partes
Ejemplos ilustrativos del método
Integración por sustitución
Integración de potencias de funciones trigonométricas

FUNCIÓN PRIMITIVA O ANTIDERIVADA PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INTEGRAL Y SERIES

Función primitiva o antiderivada
Integral indefinida
Primeras fórmulas de integración
Regla de sustitución o cambio de variable
Teorema 1: Regla de sustitución o cambio de variable
Ejemplos ilustrativos del uso de la regla
Algunas aplicaciones de la integral indefinida
Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales de primer orden
Aplicaciones a la física: movimiento rectilíneo

LA DIFERENCIAL PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL

En el siguiente módulo se usa la derivada para estimar el cambio de una función y,
por tanto, el valor resultante de la función. El razonamiento que se hará será geométrico, apoyado en la interpretación de la derivada como la pendiente de la recta tangente. Es decir, una pequeña porción del gráfico de una función derivable en torno a un punto P parece casi recto y se asemeja a un pequeño segmento de la recta tangente en P. Esto sugiere utilizar la tangente para estimar la variación del valor de la función causada por una pequeña variación en x.
La diferencial
Interpretación geométrica de la diferencial y fórmulas diferenciales
Aproximaciones y estimación de errores

LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL

Nuestro interés está centrado en una amplia variedad de razones de cambio con respecto al tiempo: la razón con la que el agua fluye en un depósito, la razón con la cual crece o decrece su altura, la razón en la cual se separan dos móviles después de pasar por un punto específico P, etc.Cuando la variable y está dada en términos de t, basta con derivar y calcular luego el valor de la derivada en el tiempo requerido. Pero en la mayoría de los casos la variable y está ligada (relacionada) con otras variables de las cuales conocemos su razón de cambio.
Variables relacionadas, variables ligadas o razones afines

PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL

La teoría de máximos y mínimos que se ha expuesto en los módulos anteriores no solamente es útil para el trazado de curvas, sino que hay múltiples e interesantes aplicaciones a los problemas de las ciencias, la ingeniería y la economía. En lo que sigue se considerarán algunos problemas cuya solución es un extremo absoluto de una función definida en un intervalo cerrado. Para ello se usa el teorema 2(teorema de los valores extremos), el cual garantiza la existencia de un valor máximo absoluto y de un valor mínimo absoluto de una función continua en un intervalo cerrado. También, en muchos problemas que surgen en la práctica, los intervalos no son cerrados, pero la teoría expuesta anteriormente da soluciones satisfactorias. Al final del capítulo se propondrán numerosos ejercicios, que al resolverlos el lector, afianzarán su razonamiento matemático.
Algunas pautas para resolver problemas de máximos y mínimos
Problemas que incluyen un extremo absoluto
Problemas que incluyen un extremo relati…

ANÁLISIS Y TRAZADO DE CURVAS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL

El tratamiento que se ha dado a la graficación de funciones ha sido casi elemental. En la mayoría de los casos, las gráficas indicadas corresponden a funciones conocidas: polinómicas, exponenciales, trigonométricas, logarítmicas, etc., cuyo trazo se ha hecho marcando un número suficiente de puntos que las caracterizan. Sin embargo, si la ecuación que se quiere graficar es complicada o se quiere de la misma una gráfica más precisa, esa técnica sería inadecuada. Por esta razón, los elementos del cálculo vistos hasta ahora (límite, continuidad y derivada) se convierten en una poderosa herramienta para trazar una curva con todos sus elementos. El objetivo básico de este módulo es incluir todas estas ideas en el proceso de graficación.
Análisis y trazado de curvas
Ejemplos resueltos sobre trazado de curvas

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL

Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos en los cuales la curva cambia de creciente a decreciente, o viceversa, los llamados puntos de inflexión de una curva (cuando existen) se caracterizan por determinar un cambio en la concavidad de la curva.
Concavidad y puntos de inflexión
Teorema 1: Criterio de la segunda derivada para concavidad
Teorema 2: Criterio de la segunda derivada para extremos relativos

TEOREMA DEL VALOR MEDIO (TVM) PARA DERIVADAS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL

Los dos teoremas básicos que constituyen este módulo tienen más importancia teórica que práctica. En lo sucesivo, frecuentemente se usa la frase «…de acuerdo al teorema del valor medio…». En nuestro caso particular, el TVM será usado en los dos próximos módulos para demostrar los teoremas básicos concernientes al estudio de la variación de las funciones, máximos y mínimos, concavidad y puntos de inflexión.
Teorema de Rolle
Teorema del valor medio para derivadas
Ejemplos de aplicación sobre el teorema del valor medio

VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL

Se ha visto en el módulo 20 que la existencia de la derivada de una función en un punto c significa geométricamente que la curva y = f (x) tiene una recta tangente en el punto (c, f (c)) y además mT = f ´(c). Este hecho permite determinar, entre otros, aquellos puntos de la curva en los cuales la tangente es horizontal, resolviendo la ecuación f’(x) = 0.
Valores máximos y mínimos de una función de variable real
Extremos relativos
Extremos absolutos

INTERPRETACIONES GEOMÉTRICA Y FÍSICA DE LA DERIVADA PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL

El problema de la tangente a una curva en uno de sus puntos es muy antiguo y se remonta a la época del gran matemático griego Arquímedes (287-212 a.C.). El problema de la velocidad instantánea es más reciente. Creció con los intentos de Keppler (1571-1630), Galileo (1564-1642), Newton (1642-1727) y otros para describir la velocidad de un cuerpo en movimiento. Estos dos problemas, el uno geométrico y el otro físico, en apariencia no están muy relacionados; sin embargo, conducen al mismo límite de cocientes incrementales, esto es, al concepto de derivada.
Interpretación geométrica de la derivada
Interpretación física de la derivada
Velocidad promedio y velocidad instantánea
Problemas de caída de los cuerpos

FORMAS INDETERMINADAS Y LA REGLA DE L´HOPITAL PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL

La regla de L´Hopital
Variantes de la regla de L´Hopital
Ejemplos ilustrativos del uso de la regla de L´Hopital y otras formas indeterminadas
Guillaume François Antoine de L’Hôpital
Guillaume de L’Hopital fue militar de profesión, se interesó por el estudio de la matemática por influencia de Johann Bernoulli y llevó a cabo la primera exposición completa del cálculo infinitesimal en su obra Análisis de los infinitamente pequeños para el entendimiento de las líneas curvas (1696). La regla de L’Hôpital permite eliminar ciertas indeterminaciones en el paso al límite del cociente de dos funciones, aplicando el cálculo diferencial.

LÍMITES INFINITOS Y ASÍNTOTAS VERTICALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL

* Ilustrar por medio de ejemplos la definición de límites infinitos, así como también su significado geométrico en el plano cartesiano.
* Introducir la noción de asíntota vertical y su relación con los límites infinitos.
Límites infinitos
Se entiende por límites infinitos de una función cuando el valor de la función crece o decrece sin «límite» a medida que la variable x se aproxima a un valor dado.
Asíntotas verticales

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