DIVISION DE POLINOMIOS EJERCICIOS RESUELTOS PDF

DIVISION ALGEBRAICA, HORNER , RUFFINI, COCIENTES NOTABLES PROBLEMAS RESUELTOS PDF CLICK AQUI PARA VER PDF 1   ****
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INTRODUCCION A LA DIVISION ALGEBRAICA



ALGORITMO DE LA DIVISION-DIVISION INEXACTA-EJEMPLO



ALGORITMO DE LA DIVISION-DIVISION INEXACTA-EJERCICIO RESUELTO



ALGORITMO DE LA DIVISION-DIVISION EXACTA-EJEMPLO



ALGORITMO DE LA DIVISION-DIVISION EXACTA-EJERCICIO RESUELTO




METODO CLASICO DE DIVISION POLINOMICA-CONCEPTO Y EJEMPLOS



METODO CLASICO PARA DIVIDIR POLINOMIOS EJERCICIO RESUELTO



METODO DE LOS COEFICIENTES SEPARADOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS-CONCEPTO Y EJEMPLOS



DIVISION DE POLINOMIOS POR COEFICIENTES SEPARADOS-PROBLEMA RESUELTO



DIVISION DE POLINOMIOS POR COEFICIENTES SEPARADOS-EJERCICIO RESUELTO



METODO DE HORNER PARA DIVIDIR POLINOMIOS CONCEPTO Y EJEMPLOS



DIVISION DE POLINOMIOS POR EL METODO DE HORNER-EJERCICIO RESUELTO



DIVIDIR POLINOMIOS POR HORNER PROBLEMA RESUELTO



REGLA DE PAOLO RUFFINI PARA DIVIDIR POLINOMIOS-CONCEPTO Y EJEMPLOS



DIVIDIR POLINOMIOS POR RUFFINI EJERCICIO RESUELTO



DIVISION DE POLINOMIOS POR EL METODO DE RUFFINI PROBLEMA RESUELTO



TEOREMA DEL RESTO - CONCEPTO Y EJEMPLOS



TEOREMA DEL RESTO-EJERCICIO RESUELTO



TEOREMA DEL RESTO-PROBLEMA RESUELTO



DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA-CONCEPTO Y EJEMPLO



TEOREMA DEL FACTOR-CONCEPTO Y EJEMPLO


DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA-EJERCICIO RESUELTO


TEOREMA DEL FACTOR-EJERCICIO RESUELTO



DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA-PROBLEMA RESUELTO


TEOREMA DEL FACTOR-PROBLEMA RESUELTO     
COCIENTES NOTABLES-CONCEPTO BASICO


COCIENTE NOTABLE DE UNA DIFERENCIA SOBRE OTRA DIFERENCIA-CONCEPTO EJEMPLOS


COCIENTE NOTABLE DE UNA DIFERENCIA SOBRE OTRA DIFERENCIA-EJERCICIO RESUELTO


COCIENTE NOTABLE DE UNA DIFERENCIA SOBRE OTRA DIFERENCIA-PROBLEMA RESUELTO


COCIENTE NOTABLE DE UNA DIFERENCIA SOBRE OTRA DIFERENCIA-FORMA PRACTICA


COCIENTE NOTABLE DE UNA SUMA SOBRE UNA DIFERENCIA-CONCEPTO y EJEMPLOS


COCIENTE NOTABLE DE UNA SUMA SOBRE UNA DIFERENCIA-FORMA PRACTICA


COCIENTE NOTABLE DE UNA SUMA SOBRE UNA DIFERENCIA EJERCICIO RESUELTO


COCIENTE NOTABLE DE UNA SUMA SOBRE UNA DIFERENCIA PROBLEMA RESUELTO


COCIENTE NOTABLE DE UNA DIFERENCIA SOBRE UNA SUMA EXPONENTE PAR CONCEPTO Y EJEMPLOS


COCIENTE NOTABLE DE UNA DIFERENCIA SOBRE UNA SUMA EXPONENTE PAR FORMA PRACTICA


COCIENTE NOTABLE DE UNA DIFERENCIA SOBRE UNA SUMA EXPONENTE PAR EJERCICIO RESUELTO


COCIENTE NOTABLE DE UNA DIFERENCIA SOBRE UNA SUMA EXPONENTE PAR PROBLEMA RESUELTO


COCIENTE NOTABLE DE UNA DIFERENCIA SOBRE UNA SUMA EXPONENTE IMPAR CONCEPTO Y EJEMPLOS


COCIENTE NOTABLE DE UNA DIFERENCIA SOBRE UNA SUMA EXPONENTE IMPAR FORMA PRACTICA


COCIENTE NOTABLE DE UNA DIFERENCIA SOBRE UNA SUMA EXPONENTE IMPAR EJERCICIO RESUELTO


COCIENTE NOTABLE DE UNA DIFERENCIA SOBRE UNA SUMA EXPONENTE IMPAR PROBLEMA RESUELTO


COCIENTE NOTABLE DE UNA SUMA SOBRE OTRA SUMA EXPONENTE PAR CONCEPTO Y EJEMPLOS


COCIENTE NOTABLE DE UNA SUMA SOBRE OTRA SUMA EXPONENTE PAR FORMA PRACTICA


COCIENTE NOTABLE DE UNA SUMA SOBRE OTRA SUMA EXPONENTE PAR EJERCICIO RESUELTO


COCIENTE NOTABLE DE UNA SUMA SOBRE OTRA SUMA EXPONENTE PAR PROBLEMA RESUELTO


COCIENTE NOTABLE DE UNA SUMA SOBRE OTRA SUMA EXPONENTE IMPAR CONCEPTO Y EJEMPLOS


COCIENTE NOTABLE DE UNA SUMA SOBRE OTRA SUMA EXPONENTE IMPAR FORMA PRACTICA


COCIENTE NOTABLE DE UNA SUMA SOBRE OTRA SUMA EXPONENTE IMPAR EJERCICIO RESUELTO


COCIENTE NOTABLE DE UNA SUMA SOBRE OTRA SUMA EXPONENTE IMPAR PROBLEMA RESUELTO


EXISTENCIA DE UN COCIENTE NOTABLE - CONCEPTO Y EJEMPLO


EXISTENCIA DE UN COCIENTE NOTABLE-EJERCICIO RESUELTO



EXISTENCIA DE UN COCIENTE NOTABLE - PROBLEMA RESUELTO



NUMERO DE ELEMENTOS DE UN COCIENTE NOTABLE-CONCEPTO Y EJEMPLO

NUMERO DE ELEMENTOS DE UN COCIENTE NOTABLE-EJERCICIO RESUELTO


NUMERO DE ELEMENTOS DE UN COCIENTE NOTABLE-PROBLEMA RESUELTO


TERMINO DE LUGAR K EN UN COCIENTE NOTABLE -CONCEPTO Y EJMPLO


TERMINO DE LUGAR K EN UN COCIENTE NOTABLE -EJERCICIO RESUELTO


TERMINO DE LUGAR K EN UN COCIENTE NOTABLE-PROBLEMA RESUELTO


TERMINO CENTRAL EN UN COCIENTE NOTABLE CONCEPTO Y EJEMPLO

TERMINO CENTRAL EN UN COCIENTE NOTABLE-EJERCICIO RESUELTO

TERMINO CENTRAL EN UN COCIENTE NOTABLE-PROBLEMA RESUELTO

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CLICK AQUI PARA VER  PDF 5**** https://app.box.com/embed_widget/s/uls0gy2q0188qtb2tw86? Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de: * Reconocer los elementos y las propiedades de la división * Efectuar la división usando los métodos de Horner y Ruffini * Encontrar el resto de una división sin efectuar la operación (en ciertos casos) * Reconstruir polinomios, bajo ciertas condiciones, usando la divisibilidad polinómica * Conocer la importancia y aplicaciones del teorema del factor. División de Polinomios La operación de división tiene por objeto calcular dos polinomios denominados COCIENTE y RESIDUO , partiendo de dos polinomios conocidos: DIVIDENDO y DIVISOR. DIVISIóN ENTRE DOS POLINOMIOS La división de polinomios está definida para una variable tomada como referencia, a la cual se le llama variable ordenatriz. MÉTODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS Para dividir polinomios se utilizan los siguientes métodos: • Método clásico o general • Método de los coeficientes separados •Método de Horner • Método de los coeficientes indeterminados •Regla de Ruffini
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https://app.box.com/embed_widget/h2tq8rhe5g40/s/1wt2m5hmx1aqmj0mwfft? DIVISION ALGEBRAICA •
Determinación del cociente, utilizando el método de Horner o la regla práctica de Ruffini. Descartando el procedimiento clásico del álgebra tradicional.
En la resolución de ecuaciones polinomiales para la obtención de raíces racionales y de raíces irracionales sin aproximación.
En el cálculo inmediato del residuo de una división cualquiera, por el teorema de Descartes.
Para la factorización de un polinomio de grado superior en el campo racional, se utiliza el criterio de los divisores binómicos, como aplicación de la regla de Ruffini.
SINTESIS TEÓRICA:
Dados dos polinomios D(x) y d(x) de grados “m” y “n” respectivamente llamados dividendo y divisor; dividir D(x) entre d(x) consiste en hallar otros dos polinomios q(x) y R(x) denominados cociente y residuo, donde el máximo  grado de  R(x) es  (n–1) o bien R(x) = o; si es que la operación fuera exacta, de tal manera que estas expresiones verifiquen la identidad fundamental de la división entera, establecida por Euclides.
Identidad fundamental de la división entera
Dados los polinomios dividendo D(x), divisor d(x), cociente q(x) y residuo R(x), establecidos por la definición.  Se cumple la identidad:

conocido universalmente como el ALGORITMO DE EUCLIDES, desde el punto de vista algebraico.
Ejemplos explicativos:
1. Dividir (x2+3x+4) entre (x-2)
Efectuando por el método clásico:
 
según la identidad, podemos expresarlo así:

2. Dividir (x3+8) entre (x2-2x+4)
De igual manera, por el procedimiento tradicional:

Expresándolo como la identidad, se tiene:

Como se puede observar, el residuo es nulo.  El ejemplo 1 nos representa a una división inexacta y el 2 a una división exacta.   Por esto, dependiendo del residuo, las divisiones se clasifican tal como sigue:
CLASES DE DIVISIÓN
1. División exacta:
Si el residuo de la división es un polinomio idénticamente nulo.   Es decir  luego, por ello  se tendrá:

Al cual se le denomina “algoritmo de la divisibilidad”; cuyo equivalente racional, también se puede expresar así:

Donde q(x) es el cociente entero que se genera de la división exacta de los polinomios D(x) y d(x).  Del ejemplo 2 anterior, se tiene:

2º. División inexacta:
Si el residuo de la división no es un polinomio idénticamente nulo.
Es decir:
Por esto, se tendrá: como su equivalente racional será:
       
donde Q(x) es el cociente no entero de la operación.  Del ejemplo 1 anterior, se tiene:
     
la característica más importante de un polinomio es su GRADO y si queremos relacionar los elementos de una división entera, tendremos que establecer propiedades entre los grados de los elementos de dicha operación.   Para lo cual mencionaremos los fundamentos básicos que definen a una división entera  cualquiera.
PROPIEDADES DE GRADO EN UNA
DIVISIÓN:
Establezcamos la siguiente simbología convencional:
: grado del dividendo
: grado del divisor
: grado del cociente entero
: grado del residuo
Con respecto a una variable definamos  los siguientes principios de una división euclídea:
1.
2.
3.
De esta última relación de orden, se deduce que:

Ejemplos explicativos:
1. Dado:
como la expresión no se puede dividir.
2. Dado:

Se puede deducir que:
El grado del cociente:
El máximo grado del residuo es uno menos que la del divisor.  Es decir:
máx
Esto significa que el residuo, también puede ser de 1er grado o de grado cero.

CASOS QUE SE PRESENTAN EN LA
DIVISIÓN DE EXPRESIONES
ENTERAS
1. División de monomios

Tener en cuenta que la división de monomios siempre es EXACTA.
2. División de un polinomio entre
un monomio:

Se tendrá que aplicar la propiedad distributiva de la división respecto de la adición.
Para una división exacta
     
Para una división inexacta

Por simple inspección, se puede deducir que:
El cociente : q(x)   = 4x3 + 3x
El residuo : R(x)  =  5x – 4

3. División de polinomios cualesquiera
En este caso debemos tener en cuenta todos los principios de una división euclídea y que el proceso de la operación lo vamos a realizar con respecto a una variable tomada como referencia, a la cual se le denomina ORDENATRIZ de la división.
Para dividir polinomios existen diversos métodos, cuyos procedimientos presentan reglas particulares que facilitan la resolución de la operación. Presentaremos a continuación algunos criterios para efectuar una división:

I. MÉTODO CLÁSICO O DIVISIÓN NORMAL
Para dividir dos polinomios cualquiera mediante este método, se debe seguir el siguiente procedimiento:
Los polinomios dividendo y divisor deben estar ordenados en forma decreciente. En el caso de que la división sea exacta, la ordenación es arbitraria.
Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, y se obtiene el primer término del cociente.
El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se les cambia de signo, colocándolos debajo del dividendo con su correspondiente término semejante.
Se divide el primer término del resto obtenido entre el primer término del divisor, y se obtiene el segundo término del cociente.
Se procede como en el paso número 3.
Se continúa la operación hasta que se llegue a la última columna del dividendo.
Ejemplos aplicativos
1. Dividir :

Disponiendo el dividendo y el divisor, según el esquema del método clásico:
     

2. Dividir:
Del mismo modo, aplicando el procedimiento clásico:

Resultados obtenidos:
Cociente : q(x) =2x3 – 4x2 + x - 1
Residuo : R(x) = 5x + 2

II. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES
SEPARADOS
Es un  procedimiento  similar a la de la metodología clásica, con la diferencia que en este caso, sólo se utilizan los coeficientes. Debemos tener en cuenta que a parte de la ordenación, tanto el dividendo como el divisor deben estar completos. Caso contrario, se sustituirán con CEROS los espacios correspondientes de los términos que faltasen.
Ejemplos explicativos
1. Dividir:
utilizando sólo los coeficientes, se tiene:
 
donde  Cociente: q(x)= 2x5–3x4+x3+4
Residuo: R(x) =–7

2. Dividir:
del mismo modo, separando los coeficientes:
   
Por lo tanto: Cociente: q(x) = x+1
Residuo: R(x) = 2x3+2x2–x

III. MÉTODO DE GUILLERMO HORNER
Es el criterio equivalente del método de los coeficientes separados, y por ello, este procedimiento requiere las mismas condiciones.   Su utilidad es muy frecuente, debido a que el DIAGRAMA establecido por Horner, facilita el proceso operativo.
Ejemplos aplicativos
1. Dividir

Del esquema de Horner, se tiene:
     
Se obtienen: q(x) = 5x3+x2+2x+6
R(x)= 6x+11

2. Dividir:
Del mismo modo, tenemos:
   
cuyos resultados se muestran:
Cociente : q(x)   = 2x4+x2+3
Residuo : R(x)  = 3x2+8

3. Dividir:

Dividiendo con respecto al a variable “x”, se tiene el diagrama adjunto:
     
Cociente: q(x) = x3+x2+1
Residuo : R(x)  0 (División exacta)

IV. REGLA DE PAOLO RUFFINI
Es un caso particular del método de Horner, y se utiliza para dividir un polinomio de cualquier grado entre un divisor de primer grado o transformable a él.
1er. Caso: Divisor de la forma (x+b)
Si el coeficiente a=1, el procedimiento simplificado de Ruffini generará directamente el cociente y el residuo de la operación. Veamos:
Ejemplos aplicativos
1. Dividir:
Regla :
     
Los elementos de la división obtenidos son:
Cociente:
Residuo: R(x) = 4

2. Dividir:
     
Regla: x – a + b = 0x = a – b

Resultados obtenidos:
Cociente :

Residuo: R(x) = a2

2do. Caso: Divisor de la forma (ax+b)
Si el coeficiente , se tendrá:

Del algoritmo de Euclides:
D(x) (ax+b) q(x) + R(x)
Llevándolo al primer caso; es decir, haciendo que el coeficiente principal del nuevo divisor sea igual a uno.   Se tiene lo siguiente:

Se observa que el cociente queda multiplicado por “a”, generando un nuevo cociente q’(x), tal que:

Donde:
En este caso, el residuo es inalterable.  Expliquemos todo lo anterior, mediante el esquema diseñado por Ruffini; para lo cual aplicamos la regla:
Regla: ax+b=0 (Reducción al 1er. caso).

Ejemplos aplicativos
1. Dividir:
Regla: 2x – 1= 0
       
Se obtienen los elementos de la operación:
q(x) = 3x4 + 4x3 + 2x2 + x – 3
R(x) = 1

2. Dividir:
Regla:
 

Resultan:
Cociente: q(x)= 4x5 + x4 + 3x3 + 5
Residuo : R(x) = –4

Ejercicios Especiales

3. Dividir:

Como 18, 15, 9, 6 y 3 son múltiplos de tres, se tiene:

Sustituyendo: x3=y
Resulta:

Regla:  4y – 1=
     
El cociente verdadero será:

Es decir:
como es exacta:  R(x)=0

4. Dividir:

Como se repite (x–1), se tiene como división equivalente:

Sustituyendo : x–1=a
Resulta:
         
Regla: 3a+1=
   

El cociente verdadero será:
; y como a = x – 1
Se tiene : q(x)  = 2(x–1)n +1; y el residuo será
R(x) = 4
El teorema del resto es una regla práctica que nos va a permitir determinar el residuo de una división cualquiera, sin necesidad de efectuar dicha operación.
Aplicar el Teorema mencionado en las siguientes divisiones :


Resultaría complicada su aplicación directa.  Para evitar aquello, expondremos dos propiedades que nos van a permitir determinar sus residuos, sin necesidad de dividirlos.
La finalidad de la divisibilidad polinómica, es conocer el manejo de las divisiones exactas, obtener cocientes de ciertas divisiones notables y tener una idea precisa de la relación numérica:

Como aplicación equivalente del teorema del factor de un polinomio.
RENÉ DESCARTES
Nació en La Haye de Turena, 31 de marzo de 1596 y murió en Estocolmo, 11 de Febrero de 1650.
Participó en la Guerra de los Treinta años, retirándose a Holanda, y terminando sus días en la corte de la reina de Suecia.
Muy conocido como filósofo racionalista, más polemizado que estudiado, sus aportaciones importantes las realizó en el terreno de las matemáticas.
Las líneas generales de su filosofía las recopila en su Discurso del método que se publica en Leiden en 1637, con tres apéndices científicos: Dióptica, Meteoros y Geometría.
El libro se difunde rápidamente; es comentado y discutido, y Descartes tiene que responder a gran número de objeciones, sobre todo de carácter filosófico y teológico, relativas al contenido del método; otras, las menos, de índole científica, referentes a las restantes partes de la obra.
La menos discutida fue la Geometría, sin duda porque, como el mismo Descartes dice, tendría un pequeño número de lectores, pues debían ser personas que no solamente estuvieran al corriente de todo lo que se sabía de Geometría y Álgebra, sino que debían ser, además, “laboriosos, ingeniosos y atentos”.  Descartes agrega a su Discurso la Geometría, para demostración del procedimiento de raciocinio que en él se expone; los otros dos tratados, Dióptrica y Meteoros se limitan a ampliar capítulos de la Física y las ciencias naturales.
La Geometría constituye, pues, la exposición más acabada del método que se propone Descartes.  Está formada por tres libros, en la edición original, de 120 páginas con 48 figuras, aunque sólo 30 son diferentes.
El libro primero trata de los problemas que pueden resolverse sin emplear más que círculos y líneas rectas; relaciona el cálculo de la Aritmética con las operaciones de Geometría, introduciendo el concepto de unidad.  Trata de cómo pueden emplearse letras en Geometría, simplificando así las notaciones.  Explica la manera de llegar a las ecuaciones que sirven para resolver los problemas, aplicando el procedimiento de suponer previamente el problema resuelto.
El libro segundo se denomina “De la naturaleza de las líneas curvas”.  Trata especialmente de las de grado superior, la representación de las curvas por ecuaciones y, sobre todo, de la construcción y propiedades de tangentes y normales, cuya importancia deriva de los problemas de la reflexión de la luz sobre las superficies curvas.
El libro tercero está dedicado a los problemas que se resuelven por ecuación de tercer grado o superior.  Esto se lleva al estudio de la resolución de ecuaciones, discusión de sus raíces y relaciones entre los coeficientes, enunciando su famosa regla de los signos.
La aportación de Descartes a la Matemática fue el antecedente necesario del cálculo infinitesimal creado por Newton y Leibniz 40 años después.  Cuando Descartes tuvo la idea de definir la posición de un punto sobre un plano por las distancias x (abcisa) e y (ordenada) de este punto a dos ejes rectangulares fijos, arbitrariamente elegidos, intuyó inmediatamente que, si el punto recorre una determinada curva, estas variables x e y quedan ligadas por una cierta relación f(x, y) = 0, característica de esta curva a la que llama su ecuación. Y, al aplicar los procedimientos del Álgebra a los problemas geométricos, creó la Geométría Analítica.

SÍNTESIS  TEÓRICA
TEOREMA DE RENATO DESCARTES
(Teorema del Resto)
El residuo de dividir P(x) entre (ax + b), se calcula al evaluar dicho polinomio P(x), cuando su variable “x” asume el valor de (–b/a).
Demostración: Por la identidad fundamental de la división, se tiene:
P(x) º (ax + b) q(x) + R(x)
Evaluando la identidad para

Como el divisor es de primer grado, el residuo es una constante real.  Por esto:


Finalmente:    (Lqqd)
Ejemplo explicativo:
Calcular el residuo de dividir:

De acuerdo al teorema, se trata de evaluar el polinomio:    P(x) = 6x5 + 9x4 + 4x2 + 8x + 5
para x = .  Es decir:

Esto nos conducirá a la obtención del residuo.
Efectuando, resulta:
 
     R = 9 – 12 + 5 = 2

GENERALIZACIÓN DEL TEOREMA DEL RESTO
Si el divisor de la operación es de grado arbitrario, se establece la siguiente regla general:
Para determinar el residuo de una división cualquiera; el divisor deberá igualarse a cero, y a partir de esta igualdad se despejará una relación conveniente, el cual se reemplazará directamente en el dividendo.
El resultado de este reemplazo, nos representará el residuo de la división.  Teniendo en cuenta que el máximo grado del residuo es uno menos que la del divisor.
Recordando :
Ejemplo (1) Calcular el resto de dividir :

Regla: x + 1 = 0      ® x = –1
Reemplazando en el dividendo, se tiene :
R = 4 (–1)121 + 7 (–1)84 – 5 (–1)33 + 8 (–1)18 + 6 (–1)5 –9
R = – 4 + 7 + 5 + 8 – 6 – 9
Por lo tanto, el resto es : R = 1

Ejemplo (2) Determinar el resto de la división :

Regla:   x2 – 2 = 0      ® x2 = 2
En el dividendo debemos buscar todos los x2 posibles, para lo cual, cada uno de los términos se tienen que descomponer convenientemente, tal como sigue:
P =16(x2)3x – 24(x2)2x + 10(x2)3 – 7(x2)x – 22(x2)2 + 9
Reemplazando la relación x2 = 2, se obtendrá el residuo:
R = 16 (2)3x – 24 (2)2x + 10 (2)3 – 7 (2)x – 22 (2)2 + 9
R = 128x – 96x + 80 – 14x – 88 + 9
Finalmente:  R = 18x + 1

Ejemplo (3) Para  que  valor  de “a”,  la  siguiente división:
 es exacta.
Regla: x – 2 = 0      ® x = 2
El residuo se obtiene al evaluar el dividendo, para dicho valor, así:
R = 2 (2)5 – 6 (2)3 + (a – 7) (2)2 + 16
R = 64 – 48 + 4 (a – 7) + 16
Reduciendo:   R = 4a + 4
como es exacta: 4a + 4 = 0   ®     a = –1

Ejemplo (4) Hallar el resto de dividir :

Regla:    (x + 2) (x – 3) = 0
Efectuando: x2 – x – 6 = 0    ® x2 – x = 6
En el dividendo, debemos buscar la expresión:
(x2 – x), para luego sustituirlo por el valor de 6.   Veamos:
P = (x+1)(x2–x+1)(x–2) (4x2–4x+1) – 3 [x(x–1)]3

P = (x2–x–2) (x2–x+1) [4 (x2–x)+1] – 3 [x2–x]3
El residuo de la división, se obtendrá de :
R = (6 – 2) (6 + 1) [4 (6) + 1] – 3 [6]3
R = (4) (7) (25) – 3 (216)
Finalmente : R = 700 – 648 = 52
Lectura
PIERRE DE FERMAT

Este matemático francés nació en Beaumont de Lomagne, en agosto de 1601, y falleció en Castres, el 12 de enero de 1665. Se educó en su ciudad natal y en Toulouse, dedicándose a la abogacía al terminar sus estudios. Fue nombrado Consejero del Parlamento de Toulouse en el año 1631.
Entre sus maestros tuvo a Blaise Pascal, con  quien posteriormente mantendría correspondencia sobre temas matemáticos. Entre sus cartas relativas a un juego de azar se encontraba el germen del cálculo de probabilidades. También mantuvo correspondencia con Descartes y otros sabios, pero es especialmente recordado por sus aportaciones a la teoría de números, a la que contribuyó  con la formulación de numerosos teoremas (aunque en la mayoría de los casos no daba su demostración). El más famosos de estos teoremas es el llamado “último teorema de Fermat” cuya  demostración ha representado un gran reto para los matemáticos durante más  de trescientos años: “ no existen a, b, c enteros positivos tales que si n>2 se cumple an +bn = cn”.
Fermat solía escribir sus teoremas en los márgenes de los libros que tenía en sus manos y junto a este teorema dejó  anotado “haber encontrado una maravillosa demostración  de este teorema pero no cabe en la estrechez del margen”.
La demostración maravillosa que no  cabía en la estrechez del margen ha sido fuente de numerosas aportaciones matemáticas hasta  convertirse en los doscientos folios que el matemático británico Andrew Wiles presentó en 1993 y que contenía un error hacia el final, corregido en 1995 por el propio Wiles y su colega Taylor. Con esta demostración cayó uno de los mayores mitos de las matemáticas.

RESTOS ESPECIALES.
DIVISIBILIDAD
Teorema Nº 1
En toda división de polinomios, si al dividendo y al divisor se les multiplica por un polinomio de grado no nulo, el residuo quedará multiplicado por dicho polinomio; es decir, resultará alterado.  Mientras que el cociente permanecerá constante.  Veamos:
Por definición: D(x) º d(x) q(x) + R(x)
Multiplicando m.a.m. por S(x), tal que S(x) º 0:

De la identidad, observamos que:
R (x)  ®     Resto verdadero
R’(x)  ®     Resto falso o aparente
Se deduce que:
Ejemplo explicativo:
Determinar el residuo de dividir:

Resolución: Aplicar el teorema del resto con el divisor (x2–x+1), es muy complicado.  Busquemos un artificio que nos permita trabajar con un divisor más simple.
Como: (x2 – x + 1) (x + 1) = x3 + 1
Multipliquemos al dividendo y al divisor por (x + 1), así:

Efectuando, resulta:

Tener en cuenta que esta es una nueva división, cuyo residuo es R’.  Por el teorema del resto, se tiene: x3 + 1 = 0     ®     x3 = –1
En P, busquemos todos los x3 posibles, así :
P = 5(x3)25+5(x3)24x2+6(x3)10x2+6(x3)10x–4x–4
Sustituyendo x3 por (–1), resulta el resto falso o aparente:
R’ = 5(–1)25+5(–1)24x2+6(–1)10x2+6(–1)10x–4x–4
Operando:
R’ = –5 + 5x2 + 6x2 + 6x – 4x – 4
Reduciendo :  R’ = 11x2 + 2x – 9
Nos interesa el resto verdadero.  Por el teorema 1, se tiene:

Por lo tanto:  R = 11x – 9

Teorema Nº 2
En toda división de polinomios, si al dividendo y al divisor se les divide entre un polinomio de grado nulo, el residuo quedará dividido entre dicho polinomio; es decir, resultará alterado.  Mientras que el cociente permanecerá constante.  Veamos:
Por definición: D(x) º d(x) q(x) + R(x)
Dividiendo m.a.m. por S(x), siendo S(x) º 0:

De la identidad, observamos que:
R (x)  ®     Resto verdadero
R’(x)  ®     Resto falso o aparente
Se deduce que:
Ejemplo explicativo:
Determinar el residuo de dividir:

Resolución:
Descomponiendo el dividendo por los productos notables: x3 + 8 = (x + 2) (x2 – 2x + 4)
x2 – 4 = (x + 2) (x – 2)
y  factorizando  el  divisor;  la  división  propuesta  queda así:

Es evidente que, al dividendo y al divisor debemos dividirlo entre (x – 2).  La nueva división cuyo residuo es R’, será:

Por el Teorema del resto:
x + 1 = 0     ®     x = –1
Sustituyendo en el dividendo, obtendremos el resto falso o aparente:
R’ = (–1 + 2)2 (1 + 2 + 4) = 7
Por el Teorema 2, el resto verdadero será:
Por lo tanto: R = 7x – 14

DIVISIBILIDAD
SÍNTESIS  TEÓRICA
Definición
Dados dos polinomios f(x) y g(x) de grados no nulos; se dirá que f(x) es divisible entre g(x), si existe un único polinomio h(x), tal que verifique la identidad de la división exacta:

Ejemplo explicativo:
El polinomio: P(x) = 2x3 + 5x2 – 7x – 12 será divisible entre (x + 3), si existe un único h(x), tal que verifique:

Encontremos el polinomio de 2do grado h(x), mediante la regla de Paolo Ruffini.
Es evidente que h(x), es el cociente de dividir , según el diagrama establecido :

Entonces, el polinomio “h” buscado es:
h(x) = 2x2 – x – 4

PROPIEDADES DE LA DIVISIBILIDAD:
Teorema Nº 3
Si el polinomio P(x) es divisible separadamente entre los binomios (x–a), (x–b) y (x–c); entonces, también P(x) es divisible entre el producto de:
(x–a) (x–b) (x–c).
Descriptivamente:
Si: P(x) ¸ (x – a)   ®     R = 0
P(x) ¸ (x – b)   ®     R = 0
P(x) ¸ (x – c)   ®     R = 0
Entonces: P(x) ¸ (x – a) (x – b) (x – c) ® R = 0

Teorema Nº 4 (Teorema recíproco)
Si el  polinomio P(x) es divisible entre el producto  de (x – a) (x – b) (x – c); entonces P(x) es divisible separadamente entre (x – a), (x – b) y (x – c).
Descriptivamente:
Si: P(x) ¸ (x – a) (x – b) (x – c)   ®  R = 0
Entonces: P(x) ¸ (x – a)   ®     R = 0
P(x) ¸ (x – b)   ®     R = 0
P(x) ¸ (x – c)   ®     R = 0

Teorema Nº 5
Si  f(x)  es  divisible  entre  g(x), y g(x) es divisible entre h(x), entonces f(x) es divisible entre h(x).
Demostremos esta afirmación, utilizando la identidad de la división exacta :
f(x) º M(x) · g(x) .......... (a)
g(x) º N(x) · h(x) .......... (b)
Sustituyendo (b) en (a):
f(x) º M(x) · [N(x) · h(x) ]
Asociando convenientemente:
f(x) º h(x) · [M(x) · N(x) ]
El cual nos indica que f(x) es divisible entre h(x)

Teorema Nº 6
Si  f(x)  y  g(x) son divisibles entre h(x), entonces la suma y la diferencia de f(x) y  g(x), también son divisibles entre  h(x) .
Demostremos la afirmación, partiendo de las identidades:
f(x) º M(x) · h(x) .......... (a)
g(x) º N(x) · h(x) .......... (b)

(a) + (b):   f(x) + g(x) º  [M(x) + N(x) ] h(x)  ......... (1)
Siendo: M(x) + N(x) º 0

(a) – (b):   f(x) – g(x) º  [M(x) – N(x) ] h(x)  ............ (2)
Siendo: M(x) – N(x) – 0

De (1) y (2), se deduce que [ f(x) + g(x) ] y
[ f(x) – g(x) ] son divisibles entre h(x).

Teorema Nº 7
Si  f(x)  es divisible entre g(x), el producto de f(x) por cualquier otro polinomio no nulo h(x), es también divisible entre g(x).
Demostremos partiendo de la identidad :
f(x) º M(x) · g(x)
Multiplicando m.a.m. por el polinomio h(x) º 0:
f(x) · h(x) º M(x) · g(x) · h(x)
Por la propiedad asociativa:
f(x) · h(x) º  [M(x) · h(x) ] · g(x)
Se concluye que f(x) · h(x) es divisible entre g(x).

Teorema Nº 8
Si al dividir el polinomio P(x) separadamente  entre (x–a), (x–b) y (x–c), se obtiene el mismo residuo, entonces al dividir P(x) entre el producto de (x–a) (x–b) (x–c), también se obtendrá el mismo residuo.
Descriptivamente:
          Si:   P(x) ¸ (x – a)    ®  R1(x) = 0
P(x) ¸ (x – b)    ®  R2(x)  = 0
P(x) ¸ (x – c)    ®  R3(x)  = 0
Entonces:
P(x) ¸ (x – a) (x – b) (x – c)  ®  R(x) = R

Teorema Nº 9
Si un polinomio P(x)  es divisible separadamente entre F(x), G(x) y H(x), respectivamente.  Entonces P(x) también es divisible entre el MCM de F(x), G(x) y H(x).
Descriptivamente:
          Si:     P(x) ¸ F(x) ®  R(x)  º 0
P(x) ¸ G(x) ®  R(x)  º 0
P(x) ¸ H(x) ®  R(x)  º 0
Entonces:
P(x) ¸ MCM [P(x), R(x), R(x)]  ® R(x) º 0

Teorema Nº 10
Todo polinomio P(x) de grado no nulo, es divisible entre cualquier polinomio constante diferente de cero.
En efecto, si tenemos el polinomio:
P(x)  = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ......... + an
y la constante monómica: F(x) = C;   C ¹ 0.
Se verifica la identidad de la divisibilidad:

donde los  son los coeficientes del segundo factor.

9. Al dividir un polinomio P(x) entre (x + 3) se obtiene por residuo –5 y un cociente cuya suma de coeficientes es igual a 3. Determinar el residuo de dividir P(x) entre (x – 1).

Rpta.:

10. Un polinomio entero en x de tercer grado se anula para  x = 7  y para  x = 3  y al dividirlo entre  (x – 10)  da como residuo 78. Sabiendo que el coeficiente principal del polinomio es 3, determinar el resto de dividir el polinomio entre  (x – 8).

Rpta.:

11. Si al dividir P(x) = 12x3 – 36x2 + 13mx – 10 entre  (6x – 3)  se obtiene un cociente cuya suma de coeficientes es 1. Calcular el residuo.

Rpta.:

12. Si al dividir un polinomio P(x) entre (x + 3) y entre  (2x – 1) se obtuvieron como residuos –27 y 1, respectivamente. Hallar el residuo de dividir  P(x)  entre  (x + 3) (2x – 1).

Rpta.:

13. Hallar el término independiente del polinomio  P(x) de tercer grado sabiendo que al dividirlo separadamente entre  (x – 5)  y  (x – 4)  deja como resto 34 y 40 respectivamente.

Rpta.:

14. Un polinomio P(x) de tercer grado, al dividirlo entre  (x – 1), (x + 2)  y  (x – 3)  da el mismo resto 3. Si se divide  P(x) entre  x + 1  se obtiene como resto 19. Calcular  P(4).

Rpta.:

15. Un polinomio P(x) de cuarto grado, al dividirlo separadamente entre  x2 + x + 1  y  x2 +x – 2  se obtiene el mismo residuo de  2x + 5. Si se divide  P(x) entre  x + 1 se obtiene como residuo 26. hallar la suma de coeficientes de dicho polinomio.

Rpta.:

16. Calcular la suma de coeficientes de un polinomio de tercer grado  P(x), cuyo coeficiente principal es la unidad. Además es divisible entre  (x – 2)  y  (x + 1)  y carece de término cuadrático.

Rpta.:

17. Un polinomio  P(x) cuyo término independiente es –30 y la suma de sus coeficientes es –48, al dividirlo entre  (x + 2) se obtiene como residuo 12. Hallar el coeficiente del término lineal del residuo de dividir  P(x) entre: (x) (x – 1) (x + 2).

Rpta.:

18. Los restos de las divisiones de un polinomio  P(x)  entre los binomios: (x + 3), (x – 2)  y  (x – 1)  son 16, 11 y 4 respectivamente. Entonces el residuo de la división de dicho polinomio entre x3 – 7x + 6  será:

Rpta.:

1. Calcular  el  resto  de dividir un polinomio entre  x – 10  si se sabe que el término independiente del cociente es 5 y el termino independiente de dicho polinomio es 2.

Rpta.:

2. Encontrar un polinomio que sea divisible entre  (x – 3), se anule para  x = 1, su término independiente sea 6 y al dividirlo entre  (x + 1)  se tenga –8 como resto. Nota: El polinomio ers de tercer grado.

Rpta.:

3. Indicar la suma de coeficientes de un polinomio mónico  P(x)  de tercer grado sabiendo que es divisible entre  (x – 2) (x + 1)  y además carece de término cuadrático.

Rpta.:

4. Al dividir  P(x)  entre  (x + 1) el resto es 1 y si se divide entre  (x + 2)  el residuo es –94.
Encuentre el residuo de dividir  P(x)  entre el producto  (x + 1) (x + 2).

Rpta.:

5. Al dividir un polinomio  P(x)  entre  (x – 1)  se obtiene como residuo  R(x), además el término independiente del polinomio, cociente y residuo son en este orden: (4n – 5), (5n – 1) y (4n – 1). Según lo enunciado, calcular: P(n).

Rpta.:

6. Indicar la suma de coeficientes de un polinomio  P(x) de cuarto grado sabiendo que al ser dividido separadamente entre  x2 + x + 1 y x2 – x + 2  otorga el mismo resto  3x – 5, pero al dividir  P(x) entre  (x + 1)  el residuo que se obtiene es 12.

Rpta.:

7. Un polinomio  P(x)  de sexto grado tiene raíz cúbica exacta, es divisible separadamente entre: (x – 1) y (2x + 1) y si se le divide entre (x – 2) el resto es 1000. Indicar su término independiente.

Rpta.:

8. Encontrar un polinomio  P(x)  de tercer grado que sea divisible separadamente entre: (x + 3) y (x – 2), sabiendo además que la suma de sus coeficientes es –12 y que si término independiente es 12.

Rpta.:

9. Un polinomio  P(x) mónico de cuarto grado es divisible entre (x2 – 1) y (x – 4) y al dividirlo entre (x + 3) da como residuo 56. Calcular el resto de dividir P(x) ÷ (x – 5).

Rpta.:

10. Al dividir un polinomio P(x) entre (x + 2) se obtiene como resto –4 y un cociente cuya suma de coeficientes es 4.
Hallar el resto de dividir P(x) ÷ (x – 1).

Rpta.:

11. Un polinomio P(x) se ha dividido entre (2x + 1) y (x – 1) halándose los residuos 6 y 3 respectivamente. Según esto hallar el resto de dividir:
P(x) ÷ [(2x+ 1) (x – 1)].

Rpta.:

12. Al dividir dos polinomios enteros entre x el producto d elos términos independientes del divisor y el cociente es 8. La diferencia de los cuadrados de los términos independientes del dividendo y el resto es 24. Calcular la suma de los términos independientes del dividendo y el resto.

Rpta.:

13. Hallar el resto de la división:


Rpta.:

14. Un polinomio P(x) al dividirlo separadamente entre (x + 1) y (x – 1) origina el mismo resto 7. Hallar el resto de P(x) ÷ (x – 1)

Rpta.:

15. Encontrar un polinomio de tercer grado que es divisible en forma separada entre: (x + 2)
y (x + 1), sabiendo además que la suma de sus coeficientes es 24 y que su término independiente es 2.

Rpta.:

16. Encontrar un polinomio P(x) de segundo grado que sea divisible en forma separada entre (x – 2) y (x + 1) y cuya suma de coeficientes sea –6.

Rpta.:

17. Encontrar un polinomio P(x) de tercer grado sabiendo que al dividirlo separadamente entre (x + 3) y (x + 2) y (x + 1) se obtiene el mismo resto 8 y al dividirlo entre (x + 4) se obtiene como resto 20.

Rpta.:

18. Encontrar el resto de dividir un polinomio P(x) entre (2x – 1) si se sabe que el término independiente del cociente es 5 y además P(0) = 18.

Rpta.:

19. Si un polinomio P(x) se divide entre (x – 1)4  se obtiene como resto un polinomio de tercer grado cuya suma de coeficientes es 3. Hallar el residuo de dividir el polinomio original entre (x – 1).

Rpta.:

20. Un polinomio entero en x de tercer grado se anulapara  x = 7  y para x = –3 y al dividirlo entre x – 10 da como residuo 39. Si el primer coeficiente del polinomio es 3, hallar el resto de dividirlo entre  x – 8.

Rpta.:

21. Al dividir un polinomio P(x) separadamente entre (x – 3) y (x + 1) se obtienen como restos 20 y –8 respectivamente.
Hallar el resto de dividir P(x) ÷ [(x – 3) (x + 1)].

Rpta.:

22. Al dividir un polinomio cúbico de coeficiente principal 3 entre (x2 – 9) se obtuvo como residuo 6, el término independiente del polinomio es –3. hallar el resto al dividir el polinomio entre (x – 2).

Rpta.:

23. Si al dividir el polinomio P(x) separadamente entre (x – 2) y (x – 3) se obtiene el mismo residuo 5, el término principal del polinomio es 2x3 y el término independiente es 17. Determine el resto de la división:


Rpta.:

24. Determine el residuo de:

e indicar su término independiente.

Rpta.:

25. Al dividir un polinomio P(x) entre (x – 3) el residuo es 6, al dividir P(x) entre (x + 3) el resto es 0, hallar el resto de la división:


Rpta.:

26. Un polinomio P(x) de cuarto grado al ser dividido entre (x2 + x + 1) da como resto (3x – 1), la suma de coeficientes del polinomio es 2, al ser dividido entre (x2 + 1) el residuo es x. Hallar el residuo de la división:


Rpta.:

27. Hallar el cociente y el resto en la división:


Rpta.:

28. Al dividir un polinomio P(x) separadamente entre (x – a) y (x – b) los restos obtenidos son:
(2b + a) y (2a + b) respectivamente. Hallar el residuo de dividir entre  x2 – (a + b)  y  x + ab.

Rpta.:

29. ¿Cuál es la suma de coeficientes de un polinomio P(x) si se sabe que es de tercer grado, cuyo primer coeficiente es la unidad y es divisible entre (x – 2) (x +  1) y carece de término cuadrático?

Rpta.:

30. Un polinomio P(x) de segundo grado y primer coeficiente 1, al ser dividido entre (x + 3) da como resultado un cierto cociente Q(x) y un resto 12. Si se divide P(x) entre el mismo cociente aumentado en 4, la división resulta exacta. Hallar el resto de dividir P(x) ÷ (x – 5).

Rpta.:

INTRODUCCIÓN
EUCLIDES
Siglo IV - III a. de J.C.
Matemático griego. Llamado por Ptolomeo, rey de Egipto, a la Biblioteca de Alejandría,  donde se había creado un gran centro cultural, su cometido consistía en reunir todos los conocimientos matemáticos existentes. Euclides realizó esta labor mediante una serie de grandes compilaciones, la más notable de las cuales se titula Elementos. Se trata de 13 volúmenes, de los cuales, los cuatro primeros se refieren a la Geometría Plana; el V y VI, a las proporciones geométricas; los tres siguientes son aritméticos; el X trata de los números irracionales; y los tres últimos, de la Geometría del Espacio.
Euclides tiene el mérito de haber utilizado por priemera vez un método de gran fecundidad para la ciencia. El método seguido por Euclides es el llamado Axiomático: Parte de una hipótesis o principios, de los que se obtiene  la teoría de un modo rigurosamente deductivo. Así, por ejemplo, en el llamado Quinto Postulado, que se expresa del siguiente modo: “Si una línea recta que corta a otras dos forma ángulos internos del mismo lado de la secante cuya  suma sea menor que dos rectas aquellas dos rectas, prolongadas hacia ese lado,se encuentran”.
Se ha considerado que este postulado no era evidente para aceptarlo sin demostración, dando lugar al nacimiento de Geometrías no euclidianas (Gauss, Lobachevski, Bolyai)



I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Realizar la división de polinomios por los métodos de Horner y Ruffini.
Resolver problemas que involucran división de polinomios.

II. PROCEDIMIENTOS
A)  INICIALES
Es muy frecuente realizar divisiones con expresiones numéricas en un campo numérico limitado. El hombre en su afán de tener un concepto abstracto de número ha establecido las expresiones algebraicas que constituyen las piezas fundamentales del álgebra.
Siendo una de sus aplicaciones las operaciones con las expresiones algebraicas, en las cuales manejamos con soltura y precisión las reglas adecuadas a cada operación.
Ahora corresponde su turno a la división de polinomios, operación que requiere de procedimientos adecuados para obtener lo deseado.

B)  DESARROLLO
1. División Algebraica
Operación que se realiza entre polinomios y que consiste en hallar dos polinomios llamados COCIENTE Y RESIDUO, conociéndose otros dos polinomios denominados DIVIDENDO Y DIVISOR que se encuentran ligados por la relación:
           D(x) = d(x) . Q(x) + R(x)

donde:
  D(x) : Dividendo Q(x) : Cociente
  d(x) : Divisor R(x) : Resto

2. Propiedades de la División
2.1 El grado del dividendo es mayor o igual que el grado del divisor.

Grado ( D(x) )  Grado ( d(x) )

2.2 El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor, o sea:

   Grado (Q(x)) = Grado (D(x)) – Grado (d(x))

2.3 El grado del Resto es menor o igual que, el grado del divisor disminuido en la unidad, es decir:

Grado ( R(x) )  Grado ( d(x) ) - 1

Lo anterior nos indica que el grado máximo que puede adoptar el resto es uno menos que el grado del divisor.

2.4 La relación o propiedad fundamental de la división en el álgebra forma una identidad.

D(x) = d(x) . Q(x) + R(x)  ;   x   R

2.5 Si la división es exacta, el resto es un polinomio idénticamente nulo.

D(x)   d(x) . Q(x)     R(x)  0


3. Principales Métodos de División

METODO DE WILLIAM G. HORNER
Pasos a seguir:

1) Coeficientes del dividendo ordenado decrecientemente en una variable, completo o completado.
2) Coeficientes del divisor ordenado decrecientemente en una variable, completo o completado, con signo contrario, salvo el primero.
3) Coeficientes del cociente que se obtienen de dividir la suma de los elementos de cada columna entre el primer coeficiente del divisor. Cada coeficiente del cociente se multiplica por los demás coeficientes del divisor para colocar dichos resultados a partir de la siguiente columna en forma horizontal.
4) Coeficientes del residuo que se obtienen de sumar las columnas finales una vez obtenidos todos los coeficientes del cociente.


ESQUEMA  GENERAL




La línea divisoria se colocará separando tantos términos de la parte final del dividendo como lo indique el grado del divisor.


OBSERVACIÓN: Si la división origina un cociente exacto, entonces el residuo es un polinomio nulo (todos sus coeficientes son cero).
Ejemplo:

Dividir :




La variable se agrega de acuerdo al grado del cociente y del resto, se tiene:
Q(x ; y) = 2x3 - x2y + xy2 + 3y3
R(x ; y) =-7x3y4 + 2x2y5 + 9xy6 - y7

METODO DE PAOLO RUFFINI
Se utiliza para dividir polinomios y cuyo divisor es un binomio de primer grado de la forma:  (ax+b).
También podría ser cualquier otro divisor que puede ser llevado o transformado a la forma antes mencionada.

Pasos a seguir:

1) Coeficientes del dividendo ordenado decrecientemente, completo o completado con respecto a una variable.
2) Valor que se obtiene para la variable cuando el divisor se iguala a cero.
3) Coeficientes del cociente que se obtienen de sumar cada columna, luego que el coeficiente anterior se ha multiplicado por  y colocado en la siguiente columna.
4) Resto de la división que se obtiene de sumar la última columna.








ESQUEMA  GENERAL


Ejemplo 01:  Dividir :

Por Ruffini :


Como : Grado (Q) =5 - 1=4, confeccionamos el cociente :

Q(x) = 3x4 + 4x3 + 15x2 + 19x + 43
R(x) = 87

OBSERVACION: Si en el divisor (ax+b), a1 ; luego de dividir por Ruffini los coeficientes del cociente deben dividirse entre “a” para obtener el cociente correcto.

Ejemplo 02:  Dividir :

Por Ruffini :



Q° =4 - 1=3  ;  (Q°  nos indica el grado del cociente)
Confeccionamos el cociente :
Q(x) = x3 + 2x2 - 5x + 1      ;  R = 8

OBSERVACION: Si el divisor es de la forma (axn+b), para proceder a dividir por Ruffini todos los exponentes de la variable en el dividendo deben ser múltiplos del exponente de la variable del divisor. Luego de verificar esto, se procede como en los ejemplos anteriores.

Ejemplo 03:  Dividir :

Solución:

40, 30, 20, 10 son múltiplos de 10, entonces es posible aplicar el Método de Ruffini.


Q° =40 - 10=30, los exponentes de la variable en el cociente disminuyen de 10 en 10.

Q(x) = 3x30 – 5x20 + 6x10 – 7
    R  =  8

PRACTICA DE CLASE:
01. Siendo Q(x) y r(x) el cociente y residuo respectivamente que obtiene al dividir :

12x5 - x4 + 3x2 + 5 entre 3x3 + 2x2 - 1

Halle : Q(x) - r(x)
             
a) 0 b) 7x2 + 1 c) x2 - 5
d) - x2 + 5 e) 1 - 7x2

02. Al dividir el polinomio :
P(x) = 2x4 + x3 - 2x2 + 5x - 1 entre otro polinomio, el cociente que se obtuvo fue :        Q(x) = 2x2 - x + 3 y el residuo 5. ¿Cuál fue el divisor?
             
a) x2 + x b) x2 + x + 2 c) x2 +x - 2
d) x2 - x - 2 e) x2 - x + 2

03. Encuentre “a” y “b” para que el residuo de la división :



Sea : r(x) = 4x+1

a) a = - 4 ; b = 3    b) a = -8  ;  b = 2  
c) a = 4 ; b = - 3    d) a=3  ; b = - 4
e) a =1 ; b = 1

04. Calcular U + N + T, si la división :


deja por resto : 3x2+2x+1

a) 20 b) 22 c) 24
d) 28 e)  N.A.

05. Calcular a . b . c, si el polinomio :
x4+3x3+ax2+bx+c, es divisible por
(x-1)(x+1)(x+2)

a) 2 b) - 2 c) 10
d) 6 e) - 6

06. En el esquema de Horner :

Indicar el valor de:

a 8 6 9 1 q
b m n
c s p
11 22
4 5 11 22 32
indica el valor de:


a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5

07. Hallar el cociente de :


  a)   b)   c)  
d)   e)

08. Hallar (a-b) si la división :



da un cociente que evaluado en x = 2 es 39.
además {a; b}  Z+
             
a) 6 b) - 4 c) - 5
d) - 1 e) - 6

09. Dar el valor de (p + q) si la división :   es exacta :
             
a) 11 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15

10. Dividir :  
Dar como respuesta el coeficiente del término cuadrático del cociente :
             
a) 3 b) 4 c) 8
d) 19 e) 45

11. Calcula: “m”, si la división, es exacta :


a)   b) 2 c) 6
d) 8 e) N.A.

12. Dividir :

E indique la suma de coeficientes del cociente:
             
a) - 12 b) - 11 c) - 10
d) - 9 e) - 8

13. Divide :  entre  3x-1 e indique un término del cociente.
             
a) 27x3 b) 9x2 c) - 3x
d) 3x2 e) 15

14. Dividiendo por Ruffini :


8 c (c - 2) 2
b 16 22 f
a 11 d 32
Evaluar : K =  
             
a) 1/4 b) 4 c) 2
d) 1/2 e) 1

15. Luego de dividir :
(10x5 - x4 + 3x3 + 17x2 + nx + 3)  (5x+2)
Se sabe que el residuo es 5. Hallar : “n”
             
a) 4 b) 2 c) 1
d) 3 e) - 1

16. Calcular el residuo de dividir :


             
a) 10 b) 9 c) 8
d) 7 e) 3

17. Hallar la suma de los coeficientes del cociente de la división :


 
Si el resto es 80

a) 10 b) 11 c) 13
d) 15 e) 18

18. Calcular el resto de dividir :


             
a) 1 b) - 6 c) - 3
d) 12 e) - 12

19. Calcula el resto en :


a) x2 - x+15 b) 7x2+4x+19 c) 6x2 - 2x+7
d) 11x2 + 5x - 1 e) N.A.

20. ¿Calcular el valor de “m”, si el residuo de la división : x3 - mx2 + 7x - 1 entre (x - 2) es el triple del resto de dividir: x2 - (m + 2)x - 11 entre (x+2)
             
a) 3 b) 5 c) 17
d) 27 e) 9






I. OBJETIVOS ESPECIFICOS
Dado un conjunto de ejercicios sobre división, calcular el residuo aplicando correctamente el Teorema del Resto.

II. PROCEDIMIENTOS
A) Iniciales
En la división algebraica se ha logrado determinar el cociente y residuo manejando el método adecuado para cada situación.
Se presentan divisiones en la cual nos solicitan proporcionar sólo el residuo e intentamos hallarlo aplicando los procedimientos tanto de Horner y Rufini (según como se presente el divisor). Muchas de las veces los términos en la división no tienen la forma que se requiere para aplicar tales métodos.
Es necesario entonces recurrir al estudio del Teorema del Resto que nos permitirá determinar el residuo en una división sin efectuarla.

B) Desarrollo
1. Teorema del Resto
Se utiliza para calcular el residuo en una división sin tener que efectuar la operación, se aplica cuando el divisor es un binomio de primer grado en la forma (ax+b) y en algunos casos especiales.

Enunciado del Teorema del Resto
El residuo de dividir un polinomio Racional y entero entre un binomio de forma (ax+b), es igual al valor que toma dicho polinomio cuando se reemplaza “x” por (-b/a) es decir:


Si:  ax+b = 0,       despejando x=
Luego:
P(-b/a) = [a(-b/a) + b] Q(x) + R
P (-b/a) = 0 + R

P (-b/a) = R

Entonces; para calcular el resto se iguala el divisor a cero, se calcula el valor de la variable (siempre que el divisor sea de primer grado) y el valor obtenido se reemplaza en el dividendo.
El resultado obtenido es el resto.

Ejemplo 01
Calcular el resto :  
Solución:
Por el teorema del resto:
x- 2 = 0       x = 2
R = (2)5 + 3(2) – 5        R = 33

Ejemplo 02
Calcular el resto:  
Solución:
Por el teorema del resto:
2x - 3 = 0      x = 3/2
R =  
R =
R =         R =
R = 9 – 11             R = -2

Ejemplo 03
Hallar el resto en:

(3x60 – 5x45 + 3x30 – 2x15 + x5 + 7) : (x5 + 1)

Solución:
Expresando el dividendo en función de x5, tenemos:


Por el teorema del resto:
x5 + 1 = 0     x5 = -1

El valor obtenido para x5 lo reemplazamos en el dividendo, así:

R = 3(-1)12 – 5(-1)9 + 3(-1)6 – 2(-1)3 + (-1) + 7
R =  3 + 5 + 3 + 2 – 1 + 7        R = 19

Ejemplo 04:
Hallar el resto de:
(5x7 – 4x6 + 5x4 – 3x3 + 2x2 – 5x + 7) : (x2 + 2)

Solución:
En este caso los exponentes del dividendo no son múltiplos del exponente del divisor. Siendo el divisor de segundo grado, el grado del resto será de primer grado.  (es el máximo valor que puede asumir).
El procedimiento a seguir es el mismo que en el ejemplo anterior.
Expresamos el dividendo en función de la potencia x2 :


Por el teorema del resto, igualamos el divisor a cero y hallamos la potencia  x2 :
x2 + 2 = 0                 x2 = -2

Reemplazando en el dividendo tendremos:

R = 5(-2)3x – 4(-2)3+5(-2)2–3(-2)x+ 2(-2)–5x+7
R = 5(-8)x – 4(-8) +  5(4) + 6x – 4 – 5x + 7
R = -40x + 32 + 20 + 6x – 4 – 5x + 7
R = -39x + 55

Ejemplo 05
Hallar el resto en:


Solución:
Como el divisor es de la forma x2 + 5x + 6, buscamos en   el   dividendo   las   potencias   de (x2 + 5x);   así:


Hacemos:   x2 + 5x + 6 = 0        x2 + 5x = -6,
en el dividendo tendremos:

R = (-6+7)39 – 3(-6+5)41 + (-6) + 11
R = 1 – 3(-1)41 – 6 + 11
R = 1 + 3 – 6 + 11        R = 9


Ejemplo 06
Hallar el resto luego de dividir:



Solución:
Factorizando el divisor:
x2 – 7x + 12   =   (x-4)(x-3)

En toda división:
D      d . Q + R,   reemplazando los datos:

(x- 3100) + (x- 47) + 6 = (x- 4)(x- 3) . Q(x) + R
                                 
 2do. grado         1er. grado

(x-3)100+(x-4)47+6=(x-4)(x-3) .Q(x)+(ax+b),  x

Si x = 3,  se obtiene: 5 = 3 a + b   . . . . . .  (1)
Si x=4,  se obtiene: 7=4a + b  . . . . . .  (2)

Restando  2 – 1 :        a = 2
                                   b = -1

Luego:  R(x) = ax + b         R(x) = 2x – 1

Ejemplo 07
Al dividir F(x) entre (4x2 – 9)(x+3); se obtuvo como residuo 2(x - 3)2. Hallar el residuo de dividir F(x) entre (2x2 + 9x + 9).

Solución:
F(x):  (4x2-9)(x+3)            R = 2(x - 3)2
Luego:
F(x) =(4x2-9)(x+3).Q1 (x)+2(x- 3)2 . . . . .   ()
F(x) : (2x2+9x+9)   R = ?  (primer grado)
F(x) = (2x2+9x+9). Q2 + ax + b . . . . .  ()

De  ()  y  () :

(2x+3)(2x-3)(x+3).Q1+2(x-3)2=(2x+3)(x+3).Q2+(ax+b)

Si x=-3/2,se obtiene: 81/2 = -3/2 a + b     (-)
Si x = -3, se obtiene :      72  = - 3  a  +  b
       81/2 – 72 = -3/2 a + 3a
81 – 144 = 3 a
-63 = 3 a
                    a = -21  ;  b = 9

Finalmente:
R =  - 21x + 9


PRACTICA DE CLASE
01. Hallar el resto :

a) 3         b) 16         c) 14          
d) 16           e) 18

02. Hallar el resto :

a) 1         b) 2         c) 3          
d) 4           e) 5
03. Hallar “a” si el resto de la división es 7
                   

a) 3             b) 4           c) 5        
d) 7           e) 8

04. Hallar el resto en :
a) 17         b) 12           c) 13        
d) 14       e) 18

05. Hallar “a” si el resto es 9 en :
a) 2           b) 3           c) 4          
d) 5           e) 8

06. Hallar el resto :

a) 2             b) 4           c) 6        
d) 8           e) 12

07. Hallar el resto en :

a) 1           b) 2           c) 3          
d) 4           e) 18

08. Qué resto se obtiene  al dividir :

 

a) 15         b) 16         c) 19        
d) 24       e) 40

09. Hallar el  resto de :



a) –4       b) –24       c) 4      
d) –6       e) –2
10. Hallar el resto de :


a) 55- 39x b) 39x + 55    c) 55x – 39
d) 55x + 39 e) 16x + 16

11. Hallar el resto en :


a) 15       b) 16     c) 17  
d) 18       e) 180

12. Hallar el resto :


a) 6       b) 7       c) 8      
d) 10         e) 60

13. Hallar el resto de dividir :


a) 1       b) 2       c) 0        
d) 7       e) 8

14 Hallar el resto en :


a) 1           b) 0           c) 8          
d) 7         e) 16

15. Hallar el resto en :



a) 2x + 1 b) 2x – 1 c) 2x – 3
d) 2x + 3 e) 16

16. Hallar el resto de dividir :


a) x + 1       b) 2x - 1       c) 3      
d) 4         e) 5

17. Hallar m.n, sabiendo que :
  (m-3)x49 + (m-12)x32 - nx27 + nx6 + 3
es divisible entre :
                               (x2 + 1)

a) 6         b) -3         c) 12      
d) 18         e) -18

18. Hallar el resto en :


a) 5         b) 6         c) 7    
d) 8       e) 10

19. Hallar el resto :


a) 1           b) 2         c) 4      
d) 6       e) 7

20. Hallar el resto en :


a) 11x+1 b) 11x+3 c) 11x+6
d) 10x+5           e) 11x+2






La Divisibilidad Algebraica tiene por objetivo determinar polinomios que no se conocen restos en divisiones donde el teorema del resto no se puede aplicar directamente.
Para estudiar la divisibilidad algebraica, necesitaremos conocer los siguientes teoremas o principios fundamentales:

I. Si un polinomio D(x) es divisible entre otro polinomio d(x), entonces existe otro polinomio Q(x) tal que:


Cuando dos polinomios son divisibles, entonces el resto es nulo (CERO) R(x) = 0

II. Si, P(x) es divisible entre (x – a), entonces:
P(a) = 0 si, P(x) es divisible entre (x + b), entonces: P(-b) = 0

III. Si, P(x) es divisible independiente por (x  a), (x b) y (x  c), entonces P(x) es divisible por el producto: (x  a) (x  b) (x  c)
Es decir:
Si: P(x)  (x  a)    r = 0
    P(x)  (x  b)    r = 0
    P(x)  (x  c)     r = 0

Entonces:

        r    0


NOTA:
También se cumple el proceso inverso, es decir si un polinomio P(x) es divisible por el producto (x  a) (xb) (x c) entonces, P(x) es divisible por cada uno de sus factores.

IV. Si al dividir un polinomio P(x) entre varias expresiones por separado nos da un mismo resto entonces al dividir dicho polinomio entre el producto de ellas nos arrojará como resto dicho resto común.

Así:
Sea P(x) un polinomio cualquiera y:
P(x)  (x + a)    r  = R
P(x)  (x + b)    r = R
P(x)  (x + c)     r = R

Entonces:





AMIGO LECTOR:

Recuerde que para determinar la suma de coeficientes de un polinomio entero en “x”, por decir P(x) se hace:



Y, para determinar el término independiente de dicho polinomio se hace:




Ejemplo # 1
Al dividir un polinomio P(x) se 3er. Grado separadamente entre (x –1), (x + 2) y (x – 3) resulta como residuo en los 3 casos igual a 3. Si al dividir P(x) entre (x + 1) se obtiene como residuo 19, calcular el residuo de dividir P(x)  (x – 2).

Solución:

* Dato: P(x) es de 3er. Grado.
Del enunciado:
P(x)  (x – 1)     R(x) = 3
P(x)  (x + 2)    R(x) = 3
P(x)  (x – 3)     R(x) = 3

Por el principio fundamental # III decimos que:


* Por Identidad:


P(x) = (x – 1) (x + 2) (x – 3) a + 3 .............. (I)

* Además:
x + 1 = 0   x = - 1
Dato: P(-1) = (-2) (1) (-4) a + 3

                 19 = 8a + 3
               16 = 8a
                 a = 2 ........................................ (II)

* Reemplazando (II) en (I):
P(x) = (x – 1) (x + 2) (x – 3)  2  + 3

* Nos piden calcular el residuo de dividir:
  R(x) = P(2) = (2-1)(2+2)(2-3)2+3

                                     R(x) = -8 + 3 = -5
                                       R(x) = -5








PRACTICA DE CLASE:
01. Hallar m sabiendo que:
P(x) = 2mx4 – mx3 + 6x – 24 es divisible entre: 2x2 –x + 4

a) 4 b) 3 c) 6
d) 7 e) 2

02. Determinar M y N de manera que el polinomio:
x4 + 2x3 – 7x2 + Mx + N sea divisible entre        x2 – 3x + 5

a) 14 y 13 b) 15 y 16 c) 13 y 12
d) 16 y 15 e) N.a

03. Qué valor debe tener k para que el polinomio:
P(k)=x6+2x5 + kx4 – x3 + 2(8 + k)x2 + 6x – 18,
 sea divisible por x3 + 2x2 – 3

a) 2 b) –2 c) 3
d) –3 e) 4

04. Si al dividir: 12x4 + Mx3 + Nx2 + 25x – 15 entre un polinomio de segundo grado, se obtuvo como cociente  4x2 + 3x – 2 y como residuo 6x – 5.      Calcular M + N

a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9

05. Hallar un polinomio de cuarto grado en variable “x”, que dé como residuo 2x al dividirlo por (x-1)2 y dé como residuo 3x al dividirlo por (x-2)3.

a) (x-3)3 (3x+1) + 2      
b) (x-2)2 (4x+3) + 3x
c) (x-2)3 (4x – 3) + 3x    
d) (x – 2)3 (3x + 1)+ 2x
e) N.a

06. Encontrar el valor de K para que el polinomio: x3 + y3 + z3 + (k – 9) x y z,      sea divisible por x + y + z.
a) 1 b) 3 c) 6
d)   e) 4

07. Al dividir un polinomio P(x) entre el producto (x+1) (x-2) (x+3)         el   resto   obtenido   es x2 – 5x+1. Encontrar cuáles son los restos que se obtiene al dividir P(x) entre x + 1 ; x-2 ; x+3

a) 7; -3 ; 12 b) 14; 13; -15    
c) –13; 12; 15 d) –8; 13; 15
e) 7; -5; 25

08. Al dividir un polinomio P(x) entre (x+3) se obtuvo por residuo –5 y un cociente cuya suma de coeficientes es igual a 3. Encontrar el residuo de dividir P(x) entre (x –1).

a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9

09. Un polinomio de cuarto grado es divisible entre (x+2) tiene raíz cuadrada exacta. Al dividirlo entre (x – 2) y (x + 1) los restos obtenidos son iguales a 16. Calcular la suma de sus coeficientes.

a) 36 b) 37 c) 38
d) 39 e) N.a

10. Determinar un polinomio P(x) de quinto grado que sea divisible entre (2x4 – 3) y que al dividirlo separadamente entre (x+1) y (x-2) los restos obtenidos sean respectivamente 7 y 232.

a) 12x5 – 3x4 – 15x + 6
b) 10x5 – 4x4 + 15x + 6
c) 12x5 – 4x4 – 15x + 6
d) 10x5 – 4x4 – 15x+7
e) 10x5 – 3x4 – 15x + 6

11. Encontrar un polinomio P(x) de tercer grado sabiendo que al dividirlo separadamente entre (x+3), (x+2) y (x-5), se obtenga siempre el mismo residuo (- 6) y al dividirlo entre (x + o1) el resto sea (- 42).

a) 3x2 – 57x – 95   b) –3x3 + 57x – 95
c) x3 + 57x – 96   d) 3x3 – 57x – 96
e) –3x3 + 57x – 59

12. Un polinomio entero en “x” de tercer grado se anula para x = 7 y para x = -3 y el dividirlo entre (x – 10) da como residuo 39 si el primer coeficiente del polinomio es 3.
Hallar el resto al dividirlo entre (x – 8).

a) 52      b) 53      c) 54       d) 55       e) 56

13. Un polinomio de grado “n” y variable x es divisible entre (xn-1 + xn-2+1) y tiene por término independiente 2. Además dicho polinomio disminuido en   9   es divisible entre (x – 1) y disminuido en 388   es divisible entre (x – 2).    Calcular el valor de “n”.

a) 3        b) 4        c) 5        d) 6        e) 7

14. Cuál es la suma de coeficientes de un polinomio P(x) si se sabe que es mónico y de tercer grado, siendo divisible entre (x-2) (x+1) y carece de término cuadrático.

a) 2 b) –5 c) –4
d) 8 e) –3

15. El siguiente polinomio:
P(x) = (x2 – n2) (x3 – m3), se anula sólo para 4 valores diferentes de x. Calcular el resto de dividir entre (x – 2n)

a) 27n5 b) 29n5 c) 25n5
d) 24n5 e) 21n5

16. Al efectuar la división del polinomio P(x) entre (x2+1) se obtiene como residuo (x – 2). El resto que se obtiene al dividir el cubo del polinomio P(x) entre x2 + 1 es:
a) x – 11 b) x – 2 c) 11x-2
d) 11x-8 e) 11x + 2

17. Al dividir un polinomio P(x) entre (x2 + 2) se obtiene un cociente Q(x) y un resto (3x – 1).
Si Q(x) es divisible entre (x2 – x – 6) el resto de dividir P(x) entre (x+2) es:

a) 5 b) –5 c) 7
d) –7 e) 6

18. Si el polinomio P(x) se anula para x = 1, x = 2,     x = 3, además es de cuarto grado y divisible por (x – 5), se pide calcular la suma de coeficientes de P(x) si presenta como primer coeficiente a la unidad.

a) 3 b) 4 c) 5
d) 1 e) 0

19. Señalar la suma de coeficientes de un polinomio en x, de tercer grado, que es divisible por          (x + 1) y al dividirlo entre:      (x – 1), (x – 2) y (x – 4) presenta en cada caso el mismo resto 30.

a) –4 b) –2 c) 30
d) 6 e) 7

20. Determinar el residuo de dividir un polinomio P(x) entre: x3+ x2 + x + 1 siendo dicho resto divisible por (x – 1), además el polinomio disminuido en 2 unidades es divisible por (x2+1). Señale como respuesta la suma de los cubos de sus coeficientes.

a) –8 b) –3 c) 3
d) 0 e) 8




















1. Identificar las divisiones que originan un cociente notable.
2. Proporcionar el desarrollo del cociente de una división notable.
3. Resolver ejercicios y/o problemas que involucren cocientes notables.

PROCEDIMIENTOS
A.  Iniciales
En el estudio de la división algebraica, hemos logrado hallar el cociente y el residuo mediante la aplicación correcta de métodos, técnicas, procedimientos o algoritmos.
Ante una determinada estructura de las expresiones algebraicas denominados Dividendo y Divisor, ¡ahora! nos asiste tratar con divisiones que por su forma o estructura las denominamos DIVISIONES  NOTABLES, que originarán en su desarrollo COCIENTES NOTABLES o INMEDIATOS.

B.  Desarrollo
1. Cocientes Notables
Reciben este nombre aquellos cocientes que se originan de divisiones que adquieren la forma:
     ,     n  Z+
El desarrollo de estos cocientes se puede escribir correctamente sin necesidad de efectuar la división. Es importante hacer notar que los términos de su desarrollo se caracterizan por que obedecen a una misma ley de formación, de la forma general:


Podemos extraer las siguientes características:
* El Dividendo y el Divisor deben ser binomios, o cualquier otra expresión que se reduzca a ellos.
* Las bases están indicadas en el divisor, debiéndose repetir en el dividendo.
* Los exponentes que afectan a las bases en el dividendo deben ser iguales y nos indicará el número de términos que tendrá en su expansión el cociente notable.

2. Estudio de la División Notable
Se presentan 4 formas o casos distintos de divisiones notables, que lo vamos a determinar combinando adecuadamente los signos.

Primer Caso:


Aplicamos el Teorema del Resto:
x – a = 0      x = a
Reemplazamos en el Dividendo:
R = an - an    R = 0
Por tanto podemos afirmar que esta expresión origina un cociente exacto. Luego el cociente es:
 = xn-1+ xn-2a+xn-3 a2 + . . . + x an-2 + an- 1
Segundo Caso:


Aplicando el Teorema del Resto:
x – a = 0      x = a
Reemplazamos en el Dividendo:
R = an + an         R = 2 an  0
Por tanto podemos afirmar que esta expresión origina un cociente completo o cociente mixto. Luego el cociente es:


Tercer Caso:


Aplicamos el Teorema del Resto:  x + a = 0   x = -a
Reemplazamos en el Dividendo:


Luego el cociente obtenido es:
Si “n” es un número par, ocupa lugar par

   = xn-1- xn-2a+xn-3 a2 - . . . + x an-2 - an-1

Si “n” es un número impar, ocupa lugar impar.


Cuarto Caso:


Aplicamos el Teorema del Resto:  
x + a = 0  x = -a
Reemplazamos en el Dividendo:



Luego el cociente obtenido es:
Si “n” es un número par



Si “n” es un número impar



Observaciones

Por lo expuesto anteriormente podemos concluir:
Los divisores de la forma (x – a) provocan un desarrollo cuyos signos son todos positivos.
Los divisores de la forma (x + a) provocan un desarrollo cuyos signos están en forma alternada, así:  + , - , + , - , . . . .
El primer término del cociente notable se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniéndose  xn-1 .
A partir del segundo término del desarrollo, el exponente de la primera base disminuye de 1 en 1, mientras que aparece la segunda, cuyos exponentes aumentan de 1 en 1 hasta (n-1).
El desarrollo es un polinomio homogéneo.
3. Principio a cumplirse en una división notable

Es división notable o inmediata si y sólo si:

Donde:
n = Número de términos del cociente.
m, p, q, r    R        n    Z+
De la división notable expuesta podemos concluir:
Los exponentes de “x” y “a” en el divisor nos indicará la forma como aumentan o disminuyen los exponentes de las variables mencionadas.
Si  r  > q, los grados absolutos del desarrollo aumentarán de acuerdo a la diferencia (r - q).
Si r < q, los grados absolutos del desarrollo disminuyen de acuerdo a la diferencia  (q – r).
Para ser más objetivos veamos los siguientes ejemplos:

Ejemplo No. 1



G.A.        18 < 20 < 22 < 24 < 26 < 28 < 30

Ejemplo No. 2


G.A.       20 > 19 > 18 > 17 > 16 > 15

4. Fórmula del Término General del Desarrollo de los Cocientes Notables

Es una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en el desarrollo de los cocientes notables, sin necesidad de conocer los demás:
Para una división de la forma:
                     1         2           3              k            n-1      n

Tk = Signo xn-k ak-1

El signo del término buscado dependerá de la forma del divisor y del lugar:
* Cuando el divisor es de la forma (x- a) entonces, el signo del término buscado será positivo (+).
* Cuando el divisor es de la forma (x + a) entonces, el signo del término buscado será:
(-)      Si el lugar que ocupa es PAR.
(+)    Si el lugar que ocupa es IMPAR.

Ejemplos Ilustrativos

Ejemplo 1.-
Hallar  el octavo término del desarrollo de:


Resolución:
Tk = Signo  xn-k  ak-1

Como el divisor es de la forma (x + a) y el término ocupa lugar Par, entonces el signo será negativo (-).

T8 = -(x5)12-8 (y6)8-1
T8 = -x20   y42

Ejemplo 2.-
Calcular el valor de “n” en:


Para que sea un cociente notable.

Resolución:




8n – 12 = 5n
3n = 12
n = 4

Ejemplo 3.-
Si el grado del octavo término del cociente notable


Es 12, hallar el número de términos de su desarrollo.

Resolución:

Número de términos será:  n/3


Luego:                   n – 24 = 12

n = 36

Luego, el número de términos será 12.

Ejemplo 4.-
¿Qué lugar ocupa en el desarrollo del cociente notable, el término cuyo grado absoluto es 252?

Resolución:
Hallemos el término que ocupa el lugar “k” que cumpla la condición dada.

G A TK = 160 – 4k + 7k – 7 = 3k + 153

Por dato del problema:  G.A.TK = 252
       3k + 153 = 252

k = 33

PRACTICA DE CLASE:
01. En el desarrollo de:


hay un término de grado 24, la diferencia de los exponentes de “x” y “a” es:

a) 7 b) 24 c) 5
d) 6 e) Ninguno

02. Cuál de las siguientes divisiones no genera un cociente notable?

a)   b)   c)  
d)   e) N.A.

03. Calcular el número de términos del cociente notable:

si se cumple que:      T20  .  T30  =  x100  y144

a) 100 b) 150 c) 50
d) 30 e) 60

04. Dar el número de términos del cociente notable:

si el penúltimo término es:  x2 y82

a) 42 b) 82 c) 86
d) 43 e) 45
05. Calcular:   (256 - 1)  :  624

a) 390 001 b) 390 251 c) 391 251
d) 391 250 e) 391 249

06. El número de términos que tiene el siguiente desarrollo de:



sabiendo que el t(5) tiene grado absoluto 32, es:

a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) N.A.

07. Hallar “m” y “n” para que el término 60 del cociente:
    ;      sea   a56  b708

a) m = 2 b) m = 3 c) m = 3
    n = 2    n = 2    n = 3
d) m = 2 e) N.A.
    n = 3

08. Dado la siguiente división notable     Calcular la suma  de las cifras de “ab” sabiendo que los grados absolutos de los términos de su desarrollo aumentan de 3 en 3.

a) 10 b) 9 c) 8
d) 54 e) 44

09. x12 + x9 + x6 + x3 + 1  es el desarrollo de:

a)   b)   c)  

d)   e)

10. En el cociente de:

el grado del término que ocupa el lugar “k” supera en 8 al grado del término de lugar “k” contado desde el último. Calcular  k . k.

a) 9 b) 81 c) 100
d) 15 e) 36

11. De:

I.  
II.  
III.

Con  n    Z+,   son exactos:
a) Sólo I   b) Sólo I y II c) I, II y III
d) Sólo II y III e) Ninguno

12. Si  xm-96   y14   es el octavo término del desarrollo del cociente notable:
     ;     calcular   (m + p + q).

a) 124 b) 144 c) 168
d) 158 e) N.A.

13. En el cociente notable de:    



Calcular  “a+b”  si el término quinto es:  xc yd, además   d - c = 3.

a) 70 b) 100 c) 120
d) 130 e) 140

14. En el desarrollo del cociente notable de:

hay un término cuyo grado es el doble del número de términos. ¿Qué lugar ocupa este término?

a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6

15. Calcular el valor numérico del término central del cociente notable:


para   x = 3,   y = 2

a) 3-2 b) 2 c)  
d) 1 e) 3+2

16. En el cociente notable de:



¿Qué valor adquiere el término central para:
a =      ;      b =  
a) 2 b) 1/2 c)  
d)   e)

17. Efectuando:  
el número de términos enteros es:

a) 6 b) 2 c) 4
d) 3 e) 5

18.Hallar el número de términos que tendrá el cociente notable:



a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) N.a.

19.Encontrar la suma algebraica de todos los términos del desarrollo del cociente:


Sabiendo que es exacto:
a) 25 b) 32 c) 128
d) 96 e) 48

20. Encontrar el número de términos de:

. . . .  -  x108  y55  +  x99  y60  -   . . . .

sabiendo que es el desarrollo de un cociente notable.

a) 12 b) 22 c) 24
d) 21 e) 23

PRACTICA DE FIJACIÓN DE APRENDIZAJE:

01. Determine al dividir:

Determine la suma de los coeficientes del cociente obtenido

a) 0 b) - 7 c) 2
d) - 1 e) 5

02. Si dividimos:

; {a; b}  Z

obtendremos como cociente  y residuo polinomios no constantes mónicos de coeficientes reales; además se sabe que el residuo es un monomio halle: a + b

a) 13 b) 11 c) 15
d) 9 e) 10

03. El resto de la división:

Es el polinomio R(x) = 3x - 3.
Calcule

a) - 1 b) 0 c) - 2
d) 3 e) N.A

04. En la siguiente división:

La suma de coeficientes del cociente es 1093, calcular “n”

a) 3 b) 6 c) 7
d) 8 e) 5

05. Halle el resto de la siguiente división:


a) 30x+77 b) 31x+77 c) - 31x+77
d) x+11 e) - 31x -77

06. Halle el resto:



a) 611 - 610x+1 b) 610 - 611x - 1
c) 610 +611x+1 d) 511 - 510x - 1
e) 611  - 1

07. Halle el resto en:


Siendo n  N

a) 1 - x b) 1 + x    
c)   d)                
e) 0

08. Halle el resto en la siguiente división:


a) 0 b) 1 - x c) 1 + x
d) 1 +   e)  - 1

09. Al dividir el polinomio p(x) entre (x - 1) y luego entre (x - 2) se obtiene  el mismo resto 4, además p(x) es divisible entre (x - 3). Calcular el término independiente p(x) si es de 3º y además cp es 2.

a) - 1 b) - 3 c) - 12
d) - 7 e) - 8

10. Sea p(x) un polinomio mónico de 3º si p(x) es divisible entre (x+2) y también entre (x+3) y además al dividir p(x) entre ( - 1) el resto es 17x+19. Calcular p(0)

a) 10 b) 17 c) 2
d) 12 e) 6

11. Calcule “m” para que la división:


a) 5 b) 6 c)
d) 10 e) 8

12. Al dividir:   se obtiene como cociente :

halle a+b+c+d

a) 34 b) 30 c) 21
d) 8 e) 50

13. Luego de dividir:

Calcule la suma de los coeficientes del cociente obtenido

a) - 140 b) - 156 c) - 175
d) - 144 e) - 136

14. Calcular a+b+c, si el resto de dividir:

entre
  es :

a) 18 b) 20 c) 15
d) 19 e) 92

15. Halle el resto en la siguiente división:

 

donde n = 4º

a) x+2 b) - x + 1 c) - x -  1
d) x+1 e) x - 1

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