REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE EJERCICIOS RESUELTOS PDF

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE Es el procedimiento mediante el cual se calcula las razones trigonométricas de ángulos que no son agudos, en términos de un ángulo que si lo sea. CLICK AQUI PARA VER PDF  **** ÁNGULO DE REFERENCIA Al ángulo agudo formado por el lado final de un ángulo positivo en posición normal con el lado positivo o negativo del eje “x” se llama ÁNGULO DE REFERENCIA y se denota por . OBJETIVOS : • Calcular las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera, expresándolo en términos de un ángulo agudo, reconociendo para ello el caso en que nos encontremos.
• Aplicar los signos de las razones trigonométricas de acuerdo a la medida del ángulo.

Al finalizar el tema reconocer la reglas de reducción.
Aplicar las reglas de reducción para ángulos positivos menores de una vuelta.
Calcular razones trigonométricas de ángulos positivos mayores de 90º pero menores de 360º.
1er. CASO
PARA ÁNGULOS POSITIVOS MENORES DE UNA VUELTA
En este caso los ángulos son positivos menores de 360º. Para reducirlos se debe tomar en cuenta los signos de las razones trigonométricas en los cuatro cuadrantes, además utilizar el siguiente cuadro.

Por ejemplo:


REGLAS PARA LA REDUCCIÓN
REGLA I

REGLA II

donde (*) es el signo “+” o “–” que va a depender del ángulo y razón trigonométrica inicial.
EJEMPLOS:
1.
2.
3.
4. tg (90º + a) = –ctg a
5. sec (270º – a) = –csc a
6. sen (180º – a) = sen a
7. cos (180º + a) = –cos a
8. Calcule:  sen 210º
Primera forma:
sen 210º = sen (180º + 30º)
  = –sen 30º

Segunda forma:  sen 210º = sen (270º – 60º)
    = –cos 60º

Calcular las razones trigonométricas para ángulos mayores a una vuelta.
Calcular las razones trigonométricas para los ángulos de la forma (–x).
INTRODUCCIÓN:
En el capítulo anterior se vio cómo calcular de una forma práctica las razones trigonométricas de ángulos positivos menores de una vuelta, aunque ello pudo haber sido calculado mediante el capítulo de razones trigonométricas para un ángulo en posición normal, ahora veremos algunas técnicas para calcular las razones trigonométricas de ángulos mayores a una vuelta y ángulos de la forma (–a).

CASO I:
Reducción para ángulos mayores de una vuelta
Partiendo de dos ángulos  que sean coterminales, se cumple:

RT() = RT()     ... (2)

De (I):  = 360ºm +    ... (3)

Reemplazando (3) en (2) obtenemos:

o su equivalencia en radianes.

Esto indica que se puede sumar o restar múltiplos de 360º ó 2, a un ángulo y su razón trigonométrica no cambia de valor, los siguientes ejemplos aclaran un poco más al respecto.
Ejemplo:
a) sen 390º = sen(30º+360º) = sen 30º =
 
b) cos 405º = cos(45º+360º) = cos45º =

c)
   
d)
         
Ejemplo 1:
Calcular el valor de:

Resolución:
Para reducir:
se divide 37 entre el doble del denominador que es 4. Esto es  37  entre 8.

Luego
De igual forma:
Cálculo de
Se divide 32 con el doble de 3.

Luego:
Finalmente:


CASO II:
Para ángulos de la forma .
Partimos de un ángulo  en posición normal y su ángulo opuesto , también en posición normal, esto es:

P y Q son simétricos respecto del eje de abscisas entonces si  P(a;b)Q(a; –b)  y ambos tienen un radio vector igual a ; ahora el gráfico se vería.

Por definición:
Para () Para (–)
a)     ;
Se observa:

b) ;
Se observa:
c) ;
Se observa:

Expuesto lo anterior concluimos en las siguientes identidades, las cuales más adelante las demostraremos con otras teorías.
 admisible se cumple:

Los ejemplos siguientes ilustran un poco más al respecto.
Ejemplo:
a) sen(30º) = –sen30º =

b) cos(–45º) = cos45º =

c) tg(–30º) = –tg30º=

d) tg(–120º) = –tg120º =



Para reducir algunos ángulos de la forma () se puede utilizar:


Ejemplo:
i) tg(–120º) = tg(–120º + 180º) = tg60º =


ii) tg 225º = tg(225º – 180º) = tg 45º = 1


iii) ctg(–150º)=ctg(–150º+180º)= ctg(+30º)=


iv) ctg(–135º) = ctg(–135º+180º) = ctg45º =1


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