CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA EJERCICIOS RESUELTOS PDF
LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS SENO COSENO TANGENTE COTANGENTE SECANTE COSECANTE EN LA C.T.
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Definir a la circunferencia trigonométrica y sus elementos.
• Representar las razones trigonométricas seno , coseno y tangente en la circunferencia trigonométrica.
• Representar la variación del seno , coseno y tangente en la circunferencia trigonométrica.
• Aplicar lo aprendido en la resolución de ejercicios.
¿Qué es el círculo trigonométrico ?
Es una circunferencia de radio unidad en la que se inscriben los ángulos, con el vértice en su centro.
ARCO ORIENTADO
Es la trayectoria descrita por un punto al desplazarse sobre una curva, en un determinado sentido. Estos arcos poseen un origen y un extremo.
CIRCUNFERENCIA CANÓNICA
Es aquella circunferencia cuyo centro es el origen del sistema cartesiano.
Estas circunferencias, en la geometría analítica, poseen una ecuación de la forma:
x² + y² = r²
Donde r es el radio de la circunferencia.
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
Es aquella circunferencia con centro en el origen de coordenadas cartesianas (canónica) , cuyo radio es igual a la unidad de escala del sistema que lo contiene.
ARCO EN POSICIÓN NORMAL
Son aquellos arcos orientados en la circunferencia trigonométrica que se generan a partir del origen de arcos siendo el extremo la posición final de dicho arco.
A los arcos en posición normal generados en sentido antihorario se les considera positivos , y en sentido horario se les considera negativos.
Es importante trabajar los arcos en posición normal en la CT , teniendo en cuenta el extremo del arco , este extremo nos indicará el cuadrante al que pertenece dicho arco.
El ángulo central correspondiente a un arco en posición normal o estándar tiene una medida en radianes que es igual a la medida del arco en unidades lineales.
REPRESENTACIÓN DE LOS NUMEROS REALES EN LA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA :
Para poder ubicar el extremo del arco 1 se necesita ubicar el ángulo de 1 rad, de forma análoga para el arco 2 el ángulo 2 rad, y así sucesivamente hasta el arco 6.
Por ello del segundo capítulo se sabe lo siguiente:
1 rad <> 57°17’44" (aproximadamente)
SIMETRÍAS EN LA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
La simetría existente entre los extremos de los arcos.
Veamos en qué medida nos facilitará en calcular las coordenadas de otros puntos, conocido uno de ellos.
REPRESENTACIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNITARIA
En esta parte al referimos a un arco, hacemos la suposición de que este es un arco dirigido en la C.T. en posición normal, es decir, su punto inicial es el origen de arcos A(1;0). En las representaciones siguientes, se han utilizado segmentos dirigidos.
LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS
Son segmentos de medida positiva o negativa que van a representar el valor numérico de una razón trigonométrica de un ángulo o un número cualquiera.
LÍNEA SENO (ORDENADA DEL EXTREMO DEL ARCO)
Es el segmento determinado por la perpendicular trazada desde el extremo del arco considerado, hacia el eje de abscisas.
LÍNEA COSENO (ABCISA DEL EXTREMO DEL ARCO)
Es el segmento determinado por la perpendicular trazada desde el extremo del arco considerado hacia el eje de ordenadas.
LÍNEA TANGENTE :
La tangente de un arco en la circunferencia trigonométrica es representada geométricamente mediante un segmento dirigido vertical, correspondiente a la ordenada del punto de intersección del radio prolongado que contiene al extremo del arco y al eje de tangentes(L T).
LÍNEA COTANGENTE:
Está representado por la abscisa del punto de intersección entre el eje de cotangentes y la prolongación del radio que pasa por el extremo del arco.
LÍNEA SECANTE:
Viene a ser la abscisa del punto de intersección entre el eje de abscisas y la tangente geométrica trazada por el extremo del arco.
LÍNEA COSECANTE:
Viene a ser la ordenada del punto de intersección entre el eje de ordenadas y la tangente geométrica trazada por el extremo del arco.
PRIMERA PRACTICA
PREGUNTA 1 :
Considerando la circunferencia trigonométrica (C.T.) , indique la expresión de mayor valor:
A) Sen20°
B) Sen120°
C) Sen220°
D) Sen240°
E) Sen320°
Rpta. : "B"
PREGUNTA 2 :
Considerando la circunferencia trigonométrica (C.T.) , indique la expresión de menor valor:
A) Sen50°
B) Sen70°
C) Sen140°
D) Sen210°
E) Sen290°
Rpta. : "E"
PREGUNTA 3 :
Señala la expresión de menor valor entre:
A) Cos10°
B) Cos 50°
C) Cos140°
D) Cos240°
E) Cos300°
Rpta. : "C"
PREGUNTA 4 :
Señala la expresión de mayor valor entre:
A) cos70°
B) cos130°
C) cos160°
D) cos220°
E) cos 310°
Rpta. : "E"
PREGUNTA 5 :
Indicar verdadero (V) o falso (F).
I) Sen100°<sen160°
II) Cos290°>cos340°
III) Sen200°>cos200°
A) VVV
B) VFF
C) VFV
D) FFF
E) FFV
Rpta. : "E"
PREGUNTA 6 :
Señale la expresión del mayor valor en:
A) Sen1
B) Sen2
C) Sen3
D) Sen4
E) Sen5
Rpta. : "B"
PREGUNTA 7 :
Señale verdadero (V) ó falso (F), según corresponda en:
I) Si: 0°<x<45° ⇒ senx >cosx
II) Si: 45°< x<90° ⇒ senx>cosx
III) Si: 90°< x<135° ⇒ senx + cosx>0
a) FFV
b) VFV
c) VVF
d) FFF
e) FVV
Rpta. : "E"
PREGUNTA 8 :
Señale verdadero (V) o falso (F) según corresponda en:
I) tan50° > tan70°
II) tan100° > tan160°
III) |tan300°| > |tan320°|
a) VVV
b) VFV
c) FVV
d) FFV
e) FVF
Rpta. : "D"
PREGUNTA 9 :
Señale la variación de: A= 2senx + 3
a) [1; 5]
b) [2; 6]
c) [1; 6>
d) <1; 5>
e) <1; 5]
Rpta. : "A"
PREGUNTA 10 :
Señale la variación de: B = 5cosθ – 1
a) [– 6; – 4]
b) [3; 2>
c) [– 3; 4>
d) <6; 4]
e) [– 6; 4]
Rpta. : "E"
PREGUNTA 11 :
Señale la extensión de: M = 3 – 2senθ
a) <1; 6]
b) <1; 5]
c) [1; 5]
d) <1; 5>
e) [3; 5>
Rpta. : "C"
PREGUNTA 12 :
Señale la extensión de: N = 4 – 3cosβ
a) [1; 8]
b) <1; 7]
c) [1; 5]
d) [1; 7]
e) <0; 6]
Rpta. : "D"
PREGUNTA 13 :
Halle la variación de la siguiente expresión:
P=sen²x+ 4; x∈ℝ
A) [4; 5]
B) [3; 4]
C) [1; 4]
D) [0; 5]
Rpta. : "A"
PREGUNTA 14 :
Sume el máximo y el mínimo valor de:
P = 3senx – 2 ; x∈ℝ
a) – 2
b) –3
c) 2
d) 3
e) – 4
Rpta. : "E"
PREGUNTA 15 :
Halle la variación de la siguiente expresión P=6–2cosx; si x∈[𝛑/3;2𝛑/3]
A) [4; 7]
B) [5; 7]
C) [5; 8]
D) [– 4; 7]
Rpta. : "B"
PREGUNTA 16 :
Sume el máximo y el mínimo valor de:
W = 7 – 4cosx ; x∈ℝ
a) 11
b) 8
c) 13
d) 6
e) 14
Rpta. : "E"
PREGUNTA 17 :
Sabiendo que: θ∈IIC; señale la variación de: H= 3senθ – 1
a) <0;3>
b) <–1;3>
c) <–1;2>
d) <–1;3>
e) <–2;1>
Rpta. : "C"
PREGUNTA 18 :
Halle la variación de la siguiente expresión: M=cos²Φ +2cosΦ + 1; Φ∈ℝ
A) [–1; 4]
B) [0; 2]
C) [–1; 2]
D) [0; 4]
Rpta. : "D"
PREGUNTA 19 :
Sabiendo que: θ∈IIIC; señale la variación de:
M = 2 – 3cosθ
a) <2;5>
b) <2;3>
c) <1;2>
d) <1;3>
e) <–1;1>
Rpta. : "A"
PREGUNTA 20 :
Halle la suma de todos los valores enteros que tienen n si se cumple que senΦ=(3n–5)/8 ; Φ∈ℝ
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
Rpta. : "D"
PREGUNTA 21 :
Sume el máximo y el mínimo valor de:
T = sen²x + senx + 1; x∈ℝ
a) 9/4
b) 7/4
c) 2
d) 7
e) 15/4
Rpta. : "E"
PREGUNTA 22 :
Señale la variación de:
B = sen(2senx + 1)
A) <sen4; 3]
B) [sen3; 1]
C) [– 8; sen3]
D) [0; sen3]
E) <sen3; 1>
Rpta. : "B"
PREGUNTA 23 :
Sume el máximo y mínimo valor de:
A= 3senα + 2cosβ – senθ ; si: "α", "β" y "θ" son independientes.
a) 2
b) 12
c) 6
d) –1
e) 0
Rpta. : "E"
SEGUNDA PRACTICA
PROBLEMA 1 :
Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
I. En el IIIC cuadrante el seno crece.
II. El máximo valor del coseno es 1.
III. En el IIC el coseno varía de 0 a –1.
a) VFV
b) FVF
c) FVV
d) VVF
e) FFF
Rpta. : "C"
PROBLEMA 2 :
Señala lo incorrecto:
a) Sen1 < Sen2
b) Sen4 > Sen5
c) Sen2 > Sen3
d) Sen5 < Sen6
e) Sen1 < Sen3
Rpta. : "E"
PROBLEMA 3 :
Calcula “A.B” donde A y B representan los valores máximo y mínimo de la expresión :
k=5 – 3Cosx
a) –15
b) –6
c) 8
d) 15
e) 16
Rpta. : "E"
PROBLEMA 4 :
Si: 𝛑<α<θ<3𝛑/2
Señala verdaderos:
I. Senα<Senθ
II. Cosα >Cosθ
III. Senα + Cosθ > 0
a) VVV
b) FVF
c) FFV
d) FVV
e) FFF
Rpta. : "E"
PROBLEMA 5 :
Halla la suma de los valores máximo y mínimo de: f(x) = 5 + Sen(5x+1)
a) 10
b) 5
c) 4
d) 9
e) 0
Rpta. : "A"
PROBLEMA 6 :
Si: 𝛑/2<x<y<𝛑
I. Senx>Seny
II. Cosx<Cosy
III. Senx<Cosy
Son verdaderos:
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d) I y II
e) I y III
Rpta. : "A"
PROBLEMA 7 :
Halla el máximo valor de:
E = (2 – Senx)² + (3+Cosy)²
a) 13
b) 15
c) 18
d) 27
e) 25
Rpta. : "E"
PROBLEMA 8 :
Indica el mayor valor:
a) Sen40°
b) Sen80°
c) Sen110°
d) Sen150°
e) Sen170°
Rpta. : "B"
PROBLEMA 9 :
Indica el mayor valor:
a) Cos40°
b) Cos110°
c) Sen110°
d) Cos150°
e) Cos170°
Rpta. : "C"
PROBLEMA 10 :
Indica el mayor valor:
a) Sen1
b) Sen2
c) Sen3
d) Sen4
e) Sen5
Rpta. : "B"
PROBLEMA 11 :
Indica el mayor valor:
a) Cos1
b) Cos2
c) Cos3
d) Cos4
e) Cos5
Rpta. : "A"
PROBLEMA 12 :
Indica el orden creciente de:
Sen1; Sen2; Sen3
a) Sen1; Sen2; Sen3
b) Sen1; Sen3; Sen2
c) Sen2; Sen3; Sen1
d) Sen2; Sen1; Sen3
e) Sen3; Sen1; Sen2
Rpta. : "E"
PROBLEMA 13 :
Indica el orden creciente de:
Cos1; Cos2; Cos3
a) Cos1; Cos2; Cos3
b) Cos1; Cos3; Cos2
c) Cos2; Cos3; Cos1
d) Cos3; Cos2; Cos1
e) Cos3; Cos1; Cos2
Rpta. : "D"
PROBLEMA 14 :
Afirma si es (V) o (F):
I. La Tangente en el IIIC es creciente.
II. El coseno en el IIC es creciente.
III. El seno en el IVC es creciente.
a) VFF
b) VFV
c) VVF
d) FVF
e) FVV
Rpta. : "B"
PROBLEMA 15 :
Afirma si es (V) o (F):
I. El seno en el IIC, decrece entre (0) y (–1)
II. El coseno en el IIIC, crece entre (–1) y (0)
III. La tangente en el IIC, crece entre( ) y (0)
a) FVF
b) FVV
c) VFV
d) VVF
e) FFV
Rpta. : "B"
PROBLEMA 16 :
Afirma si es (V) o (F):
I. Sen2 > Sen3
II. Cos4 > Cos5
III. Tg5 > Tg6
a) VFV
b) VVV
c) FFF
d) VFF
e) FFV
Rpta. : "D"
PROBLEMA 17 :
Indica si es (V) o (F) en el IV cuadrante:
I. Senx – Cosx es positivo.
II. Tgx-Senx es negativo.
III. Cosx – Ctgx es positivo.
a) FVV
b) VFV
c) VVV
d) FVF
e) VVF
Rpta. : "B"
PROBLEMA 18 :
¿En qué cuadrante(s) se cumple que mientras el seno decrece el coseno crece?
a) IC
b) IIC
c) IIIC
d) IVC
e) FD
Rpta. : "C"
La circunferencia trigonométrica es una circunferencia de radio unidad en la que se inscriben los ángulos, con el vértice en su centro.
También en su centro se ubica el origen de un sistema de coordenadas ortogonales (x;y).
En la circunferencia trigonométrica se considera que los ángulos están orientados ; se atribuye un signo al sentido de giro: si los ángulos se miden desde el eje X, crecen positivamente en sentido contrario al de las agujas del reloj .
Por lo tanto , si se miden en sentido horario , los ángulos serán negativos.
La razón del valor uno es por simple comodidad, es más fácil deducir los valores de las funciones trigonométricas a partir de un valor simple como uno (el único valor más simple que 1 es cero , pero el cero no aplica en este caso), así que se toma este por hacer las cosas más fáciles y poder deducir los valores de manera sencilla.
Tener en cuenta :
✎ Ángulo es el conjunto de puntos del plano común a la intersección de dos semiplanos. Se los mide en grados sexagesimales, grados centesimales o radianes.
✎ Un ángulo de un radián es aquel en que el arco que subtiende, trazado con centro en el vértice del ángulo, es igual al radio.
✎ Los argumentos de las funciones trigonométricas son ángulos.
✎ Las funciones trigonométricas son números sin unidad de medida.
Surgieron como relaciones entre las medidas de los segmentos que forman los lados del triángulo
No es posible resumir en pocas líneas todos los posibles usos de la circunferencia trigonométrica.
En general, se puede decir que ésta puede ser empleada en todas las situaciones en la cuales puede ser una «ventaja» visualizar en modo gráfico las relaciones con las cuales nos estamos confrontando.
La capacidad de decidir cuando esto es una ventaja o una desventaja, como a menudo sucede, depende en mucha medida de la experiencia: lo ideal es entonces tratar de aplicar más de un método a la solución de un problema, de tal manera que se enriquezca nuestro nivel de análisis.
PROBLEMAS RESUELTOS
PREGUNTA 1
En el círculo trigonométrico mostrado, el área de la región sombreada es:
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "E"
PREGUNTA 2 :
En un parque de la ciudad de los Olivos , como el que se muestra en la figura, se destina el área de la parte sombreada para actividades de recreación. C.T.
.png)
Calcula el área de dicha región.
A) tanαcosθ/2
B) tanθcosα/2
C) – tanαcosθ/2
D) senαtanθ/2
E) senαcosθ/2
RESOLUCIÓN :
.png)
Rpta. : "A"
PREGUNTA 3 :
En el círculo trigonométrico, calcule el área de la región sombreada:
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "E"
PREGUNTA 4 :
En el círculo trigonométrico mostrado, el área de la región sombreada es:
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "E"
PREGUNTA 5 :
Determinar la expresión correcta
I) Si x∈ ] 3𝛑/2 ; 2𝛑 [ ⇒ tgx es positiva.
II) Si x∈ ] 𝛑/2 ; 𝛑 [ ⇒ senx es creciente.
III) Si x∈ ] 𝛑 ; 3𝛑/2 [ ⇒ cosx es negativa.
A) Solo III
B) Solo I
C) Solo II
D) I y III
RESOLUCIÓN :
Circunferencia trigonométrica
I) Si x∈ ] 3𝛑/2 ; 2𝛑 [ ⇒ tgx es negativa.
II) Si x∈ ] 𝛑/2 ; 𝛑 [ ⇒ es decreciente.
III) Si x∈ ] 𝛑 ; 3𝛑/2 [ ⇒ cosx es negativa.
Rpta. : "A"