ESFERA DE REVOLUCIÓN PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA DEL ESPACIO PDF
OBJETIVOS :
• Conocer el teorema de Arquímedes para las superficies de revolución
• Obtener el área de una superficie esférica a partir del teorema de Arquímedes.
• Reconocer las diferentes partes de una superficie esférica.
• Aprender a calcular las áreas de las distintas partes de la superficie esférica.
SUPERFICIE ESFÉRICA
Es la superficie por la rotación de una semicircunferencia alrededor de su diámetro tomado como eje.
PARTES DE LA SUPERFICIE ESFÉRICA
ZONA ESFÉRICA
Es la parte de la superficie de la esfera comprendido entre dos planos paralelos; cuando los dos planos son secantes se obtiene, la zona de dos bases y cuando uno de los planos es tangente y el otro secante se obtiene la zona de una base o casquete esférico.
𝑖) Zona de dos bases
𝑖𝑖) Zona de una base o casquete esférico
HUSO ESFÉRICO
Es la parte de la superficie esférica limitado por dos semicircunferencias máximas que tienen un mismo diámetro.
ESFERA
Es el sólido generado por la rotación de un semicírculo alrededor de su diámetro tomado como eje.
PARTES DE VOLÚMENES DE ESFERA
SECTOR ESFÉRICO
Es el sólido generado por un sector circular que gira alrededor de un eje coplanar que pasa por su vértice sin cortarlo.
ANILLO ESFÉRICO
Es el sólido generado por la rotación de un segmento circular cuando gira alrededor de un eje coplanar que pasa por el centro del círculo a que pertenece del segmento circular.
SEGMENTO ESFÉRICO
Es la parte del volumen de una esfera limitado por dos planos paralelos; cuando los dos planos son secantes se obtiene un segmento esférico de dos bases y cuando uno de los planos es tangente y el otro secante se obtiene un segmento esférico de una base.
CUÑA ESFÉRICA
Es la parte de la esfera limitado por dos semicírculos máximos que tienen su mismo diámetro.
TEOREMAS DE PAPPUS Y GULDIN
TEOREMA I
El área de la superficie que genera una línea plana cuando gira alrededor de un eje coplanar es igual a la longitud de la circunferencia que describe su centro de gravedad por la longitud de la línea.
TEOREMA II
El volumen que genera una superficie plana cuando gira alrededor de un eje coplanar es igual a la longitud de la circunferencia que describe su centro de gravedad por el área de la superficie plana.
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EJERCICIO 1 :
Dos esferas de metal de radio 2a y 4a se funden juntas para hacer una esfera mayor. ¿Cuál es el radio de la nueva esfera?.
EJERCICIO 2 :
El volumen de un cubo es 64 cm³. hallar el volumen de la esfera inscrita en el cubo.
EJERCICIO 3 :
Una esfera es tangente a un plano . Un punto de dicho plano dista 13u y 12u del centro y del punto de tangencia respectivamente. Calcule el volumen de la esfera.
EJERCICIO 4 :
Dos superficies esféricas , cuyas áreas son 576𝜋 y 36𝜋, son tangentes exteriormente y se apoyan en un plano. Calcule la distancia entre los puntos de tangencia.
EJERCICIO 5 :
Se inscribe un cono recto de revolución en una esfera, tal que la generatriz del cono sea igual al diámetro de su base igual a 2a. Hallar el área total de la esfera.
EJERCICIO 6 :
Se tiene una esfera de radio R la cual es intersecada por un plano que dista del centro de la esfera en R/3. hallar el área de la figura formada.
EJERCICIO 7 :
Se tiene un recipiente de forma cilíndrica de 10 cm de radio de la base, el cual contiene agua hasta una altura h luego se introduce una esfera de radio de 3cm, ¿cuánto asciende el nivel del agua?
EJERCICIO 8 :
Un cono circular recto de altura 10m está circunscrito a una esfera de 4m de radio. Calcular el volumen del cono.
EJERCICIO 9 :
En que relación se encuentran los volúmenes de las esferas inscritas y tangentes a las aristas en un tetraedro regular.
EJERCICIO 10 :
Halle el radio de la menor esfera que en su interior puede contener cuatro esferas congruentes de radio «a».
EJERCICIO 11 :
Sobre un plano horizontal hay tres esferas de radio 12dm tangentes entre si, luego se coloca sobre estas esferas otra esfera congruente y tangente a ellas, entonces la altura de la pila formada expresada en dm es:
EJERCICIO 12 :
Se traza dos planos paralelos uno de los cuales dista 4dm del centro de una esfera de radio 12 dm y el otro pasa por el centro, entonces el volumen de segmento esférico determinado expresado en dm³ es:
EJERCICIO 13 :
Una esfera sólida de metal de radio R , es utilizada para construir una pirámide triangular sólida cuyas caras laterales son regiones triangulares equiláteras. Halle la altura de la pirámide.
EJERCICIO 14 :
Halle el volumen de una semiesfera inscrita en un tronco de cilindro si la generatriz máxima y mínima tiene por longitud 6 y 4 respectivamente.
EJERCICIO 15 :
Calcule el volumen de un tronco de pirámide regular de base hexagonal circunscrito a una esfera, sabiendo que las aristas básicas miden 2 y 4 .
EJERCICIO 16 :
Se inscribe una esfera en un cono de revolución. Sabiendo que en el cono , dos generatrices opuestas determinan un ángulo de 60° y el diámetro de su base es 18 unidades. Calcule el volumen de la esfera (en unidades cúbicas).
EJERCICIO 17 :
El centro de una esfera pertenece al de la base de un tetraedro regular y es tangente a las aristas de la base de longitud 6. Determine la altura del segmento esférico exterior a las caras laterales del tetraedro.
EJERCICIO 18 :
Las bases de un tronco de pirámide de bases paralelas son cuadrados cuyos lados miden 4 y 8 metros respectivamente. Si el sólido es circunscriptible a una esfera, hallar el volumen del sólido.
EJERCICIO 19 :
En una esfera de centro O, se traza un plano secante, si las áreas de la superficie esférica y de la sección determinada son 𝕄 y ℕ respectivamente, calcule la distancia de O al plano secante.
¿CÓMO SE CONSTRUYE UN MAPA TERRESTRE?
En cartografía para poder construir un mapa terrestre, se suelen usar diferentes tipos de proyecciones de la superficie terrestre (curva-esférica) sobre un plano (mapa).
Claro está que cada una con ciertas ventajas y limitaciones, tenemos por ejemplo:
LA PROYECCIÓN CILÍNDRICA, consiste en proyectar la superficie esférica terrestre sobre un cilindro que es tangente a ella en el Ecuador, la más conocida en este tipo es la proyección de Mercator
LA PROYECCIÓN CÓNICA, esta construcción se realiza proyectando la superficie terrestre sobre uno o varios conos tangentes a la misma, situando el o los vértices del o los conos en la recta que une los dos polos terrestres, la más importante es la proyección cónica de Lambert
LA PROYECCIÓN AZIMUTAL, consiste en proyectar la superficie terrestre sobre un plano tangente a ella tomando como base un punto interior o exterior al globo terráqueo, también se le conoce como proyección plana o cenital.