COCIENTES NOTABLES PREGUNTAS Y PROBLEMAS RESUELTOS

Se denomina C.N., a ciertos cocientes de tal forma que sin efectuar la división se puede escribir su desarrollo.
FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL 
Esta fórmula nos permite calcular un término cualquiera del cociente en función al lugar que ocupa. 

REGLA PARA EL SIGNO
☛ Cuando el divisor es de la forma (x – a) el signo de cualquier término es positivo. 

☛ Cuando el divisor es de la forma (x + a) el signo de los términos que ocupan un lugar par son negativos y los que ocupan un lugar impar son positivos.

Ejemplo explicativo: 
De la división mostrada: 
Determine el 17o y 38o término respectivamente del C.N. generado al expandirlo. 
Por la condición: 
• Cálculo de T17 (Lugar impar) T17 = (+) (x3)51–17 (y2)17–1 Por lo tanto: T17 = x102 y32 
• Cálculo de T38 (Lugar par) T38 = (–) (x3)51–38 (y2)38–1 Por lo tanto: T38 = –x39 y74 Regla Práctica para desarrollar Las características más saltantes de su desarrollo, son las siguientes: 
a) El C.N. admite r términos en su parte entera. 
b) Con respecto a x, los grados relativos van disminuyendo de p en q (partiendo de m – p hasta cero). c) Con respecto a y, los grados relativos van aumentando de q en q (partiendo de cero hasta n – q). 
Ejemplos 
 Siempre y cuando el valor de P sea par. 
• Siempre y cuando el valor de (n/r) sea impar. 
• Sólo si el valor de 3m es par. Para el caso de divisiones inexactas, el criterio es el mismo para extender los términos de la parte entera del cociente, sólo que debemos agregar la fracción: residuo sobre divisor. 
Según el algoritmo: 

PROPIEDADES PARTICULARES 
I. Término Central de la parte entera de un C.N. Se tiene la división indicada: 
a) Si n es un número impar El cociente notable admite un sólo término central, cuya posición se calcula así: luego, dicho término se determina por la fórmula: 
b) Si “n” es un número par El cociente notable admite dos términos centrales, cuyas posiciones se calculan así: 
Luego los términos buscados se determinan por las fórmulas: 
II. Término Contado a partir del extremo final Para la parte entera del cociente notable generado al dividir : un término cualquiera de lugar “K”, contado a partir del extremo final, se calcula así:
 Ejemplo: 
Señale el 10mo. término contado a partir del final, en el desarrollo de: 
• Es evidente que el número de términos n = 75. 
• Aplicando la fórmula general: 
Por lo tanto: 
III. Suma de los grados absolutos de todos los términos del desarrollo de la división indicada 
• que admite “r” en términos en la parte entera del C.N. Se trata de calcular la suma de la serie: Es fácil deducir la siguiente relación: .......... (a) 
• Si se tiene la forma elemental de la división notable: por simple inspección, se tienen por comparación los datos mostrados : m = n ; p = q = 1 ; r = n 
Reemplazando en la fórmula (a), resulta:
Ejemplo (1) 
En la siguiente división indicada: 
Aplicando la condición de proporcionalidad: Número de términos Se observa que este genera un cociente notable de 7 términos. 
Ejemplo (2) 
Si la división mostrada: genera un C.N., debe cumplir la condición: 
Número de términos Lo cual es absurdo. 
Por lo tanto, la división mencionada NO genera un cociente notable. 
Ejemplo (3) 
Hallar el número de términos de la parte entera del C.N. que se obtienen a partir de la división: Por la condición : donde “r” nos expresa el número de términos pedido. Resolviendo la ecuación: (3m + 2) (m – 5) = 2 (5m – 1) Efectuando, resulta: 3m2 – 23m – 8 = 0 Factorizando: (m – 8) (3m + 1) = 0 Para m = 8, se obtiene: r = 13 términos Para m = , el valor de r no resulta un número natural. 
Ejemplo 
Determine el 7mo. término del C.N. generado al dividir: 
• En la fórmula general n=15 y K=7: T7 = (+) x15–7 y7–1 
Por lo tanto: T7 = x8 y6 Ejemplo (2) Calcular el 13er. término del desarrollo de la división indicada: 
• En la fórmula general: n=24 y K=13: T13 = (+) x24–13 y13–1 Por lo tanto: T13 = x11 y12 Ejemplo (3) Señale el vigésimo término del C.N. obtenido al efectuar: 
• En la fórmula general n = 39 y k=20: T20 = (–) x39–20 y20–1 Por lo tanto: T20 = –x19 y19 Teorema Nº 11 

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