TEORÍA DE ECUACIONES POLINOMIALES DE GRADO SUPERIOR PDF

ECUACIONES POLINOMIALES Conocer la teoría sobre definiciones, teoremas y propiedades referentes a las ecuaciones y sus raíces. INTRODUCCIÓN: Sea el polinomio general en una variable de grado n. A la igualdad P(x)=0 se llama ecuación polinomial de grado n. En la resolución de estas ecuaciones se tendrá particularmente a la ecuación lineal, cuadrática, cúbica, cuártica, bicuadrada, recíproca y binomial mediante fórmulas generales en términos de sus coeficientes. Sin embargo, no ha sido posible resolver en forma general una ecuación de quinto grado o superior mediante fórmulas generales (por radicales).Más aún el matemático Evariste Galois (1811–1832) demuestra que el polinomio general de grado n 5 no es soluble por radicales ,mediante la teoría de grupos (tratado en Álgebra Moderna). Pero si los coeficientes son numéricos, el valor de cualquiera de las raíces reales puede hallarse mediante aproximaciones (visto en las aplicaciones de la derivada). ECUACIÓN POLINOMIAL CON UNA INCÓGNITA Es aquella ecuación cuya forma canónica o general adopta la forma: n n-1  P(x)=a0 x +a1x +...+an-1x+an =0 ; a0 0 donde: a0 , a1 , a2 , a3 , ... an-1 , an son coeficientes complejos; n   * Esta ecuación es de grado ‘‘n’’ si y sólo si: a0  0 * an: coeficiente principal * a0: término independiente De acuerdo a la naturaleza de los coeficientes ai , una ecuación polinomial puede ser: * Si ai   , se tendrá una ecuación polinomial con coeficientes enteros. EJEMPLO: P(x)=4x5+3x4  6x2+x  5=0 * Si ai  , se tendrá una ecuación polinomial con coeficientes racionales. EJEMPLO: 3 4 3 2 2 1 P(x)= x +7x x +6x+ =0 5 5 2  * Si ai  , se tendrá una ecuación polinomial con coeficientes reales. EJEMPLO: 7 2 5 4 3 6 P(x)= 3x + x +7 x 2x + x =0 3 6   * Si ai  , se tendrá una ecuación polinomial con coeficientes complejos. EJEMPLO: 6 5 3 2 P(x)= 3ix + 2ix +6x x+5+i=0 3  El grado del polinomio determina el grado de la ecuación, así: • x+1=0 Ecuación lineal o de primer grado • x2  8x+3=0 Ecuación cuadrática o de segundo grado •7x3  5x+ 2 = 0 Ecuación cúbica o de tercer grado RAIZ DE UN POLINOMIO (ó cero de un polinomio) Es aquel valor de la variable que anula un polinomio. Sea P(x) polinomio no constante: P( )=0 " " es raíz de P(x) ó es raíz de P(x) P( )=0       Donde   * Es decir la raíz de un polinomio es el valor que al ser reemplazado en P(x), este toma el valor cero. EJEMPLO 1: * Dado el polinomio: P(x)= x3 +1 una de sus raíces es x = 1 * Ya que: P(1)=(1)3 +1= 0 299 EJEMPLO 2: * Sea: P(x)= x2  25 Si: x=5 P(5)=52  25=0 Si: x= 5  P(5)=(5)2  25 = 0 * Entonces 5 y –5 son raíces de P(x) OBSERVACIÓN: Toda ecuación polinomial de grado ‘‘n’’ tiene ‘‘n’’ raíces TEOREMA DEL FACTOR Si un polinomio P(x) se anula para x = a, entonces (x – a) es un factor de P(x) y por consiguiente ‘‘a’’ es una raíz de dicho polinomio. * Dicho de otra forma: ‘‘Dado P(x)= 0 , tal que P(a)=0 entonces (x – a) es un factor de P(x)’’ * Se cumple que: P(x)  (x  a)Q(x) EJEMPLO: * Sea P(x)= x3  2x2  x+2 se observa que: P(1)=0 ; P(1)= 0 ; P(2)= 0 * Luego, –1; 1; 2 son raíces de dicho polinomio. Por tanto: (x+1), (x  1), (x  2) son factores de dicho polinomio. * Entonces: P(x)=(x+1)(x  1)(x  2)Q(x) RAÍZ MÚLTIPLE DE UN POLINOMIO Si la ecuación polinomial: P(x)=0 ; n  2 , a0  0 admite ‘‘k’’ raíces iguales a ‘‘r’’ (n  k), entonces se dice que ‘‘r’es una RAÍZDEMULTIPLICIDAD ‘‘k’’de dicha ecuación. * Es decir si una raíz es de multiplicidad k, significa que la raíz se repite k veces. DEFINICIÓN: Sea P(x) un polinomio donde   constante, es una raíz de multiplicidad k. Si y sólo si (x  )k es un factor de P(x) y (x  )k+1 no es factor de P(x). Es decir: P(x)=(x  )kq(x) con q( )  0 OBSERVACIÓN: Si se desea hallar las raíces de un polinomio o ecuación se factoriza y se iguala cada factor a cero. EJEMPLO 1: Hallemos las raíces de: P(x)=(x+2)3(x  5)2(x  8) * Igualando cada factor a cero (debe tener: 3+2+1=6 raíces)  1 2 3 4 5 6 x = 2 es raíz de multiplicidad tres o raíz triple (se repite 3 veces) x = 5 es raíz de multiplicidad 2 o raíz doble x = 8 es raíz simple (no tiene mul (x+ 2)=0 x = 2 (x+ 2)=0 x = 2 (x+ 2)=0 x = 2 (x 5)=0 x = 5 (x 5)=0 x = 5 (x 8)=0 x =8                      tiplicidad) EJEMPLO 2: * Al hallar las raíces de: P(x)=3(x+5)(x  3)2(x+1)3 Igualando cada factor a cero: 2 3 x+5=0 x= 5: (x 3) =0 x=3: 2 (x+1) =0 x= 1: 3       raíz simple (no tienemultiplicidad) raíz doble demultiplicidad raíz triple o demultiplicidad OBSERVACIÓN: * Una raíz de la ecuación polinomial P(x)=0 sin tomar en cuenta su multiplicidad se denomina también ‘‘solución de dicha ecuación’’ , entonces: Número de Número de raíces de P(x) soluciones de P(x)=0  ; es decir el número de soluciones no excede al grado. EJEMPLO: * Sea la ecuación polinomial: 5 2 4 7 P18(x)=6x (x+1) (x  2) (x  3) =0 * Se dice que : ‘‘0’’ : es una raíz de multiplicidad 5 ‘‘–1’’ : es una raíz de multiplicidad 2 ‘‘2’’ : es una raíz de multiplicidad 4 ‘‘3’’ : es una raíz de multiplicidad 7 * De lo anterior, la ecuación de grado 18, admite 18 raíces; pero el conjunto solución ‘‘S’’ de dicha ecuación, admite solo 4 elementos, es decir: S=0 ;  1 ; 2 ; 3 NOTA: El término raíz o cero de un polinomio se utiliza únicamente para ecuaciones polinomiales , es decir 300 es absurdo hablar de raíz en ecuaciones irracionales o fraccionarias. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA Toda ecuación polinomial de coeficientes numéricos posee por lo menos una raíz que generalmente es compleja. COROLARIO : Toda ecuación polinomial de grado ‘‘n’’ tiene exactamente ‘‘n’’ raíces contadas con su respectiva multiplicidad. * Sean las raíces de P(x) polinomio de grado ‘‘n’’ con coeficiente principal ‘‘a’’. x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; ... ; xn el polinomio puede expresarse de la siguientemanera: coeficiente principal EJEMPLOS: I) x4  16= 0 ó P(x)= x4  16= 0; Como la ecuación es de 4to. grado debe tener 4 raíces. * Verifique que las raíces son 2 ; –2 ; 2i ; –2i, donde i es la unidad imaginaria. II) P(x)=(x  3)2(x  1)3(x+5)=0 * Vemos que el polinomio es de grado 6, entonces debe tener 6 raíces. OBSERVACIÓN: Si a0=1 se dice que P(x) es un polinomio mónico. Sea P(x) un polinomio, además recuerde que: * P(1)= Suma de coeficientes * P(0)= Término independiente EJEMPLO: Sean 2; 3 y – 5 las raíces de un polinomio P(x) de grado mínimo, hallar la suma de sus coeficientes si dicho polinomio es mónico. RESOLUCIÓN: * Si: 0 2 es raíz (x 2) es factor de P(x) 3 es raíz (x 3) es factor de P(x) 5 es raíz (x+5) es factor de P(x) P(x) a (x 2)(x 3)(x+5)           * Como el polinomio es mónico: a0=1  P(x)  (x  2)(x  3)(x+ 5) * Nos piden la suma de coeficientes: x=1 P(1)=( 1)( 2)(6) P(1)=12     Sea :  La suma de coeficientes del polinomio es 12 NOTA: * Del teorema y el corolario se concluye que toda ecuación polinomial tiene solución, por lo tanto será compatible. * Así mismo toda ecuación polinomial tiene n raíces contadas con sumultiplicidad, es decir, será compatible determinada. TEOREMADE CARDANO-VIETTE Dado un polinomio P(x) de grado ‘‘n’’ con coeficientes complejos en general de la forma: n n 1 n 2 P(x)=a0x +a1x +a2x +...+an=0   a0  0 cuyas raíces son x1, x2 , x3 , ......, xn, entonces: I) SUMA DE RAÍCES : 1 1 1 2 3 n 0 a S = x + x + x +...+ x = a  II) SUMA DE PRODUCTOS BINARIOS : 2 2 1 2 1 3 2 3 0 a S =x x + x x + x x +...= a ‘‘Suma de los productos tomados de 2 en 2. III) SUMA DE PRODUCTOS TERNARIOS : 3 3 1 2 3 1 2 4 2 3 4 0 a S = x x x + x x x + x x x +...= a  ... y así sucesivamente .... IV) PRODUCTOS DE RAÍCES : n n n 1 2 3 n 0 a S =x x x ...x =( 1) a  n 0 a ; n=par a  n 0 a ; n=impar a  NOTA: Este teorema nos permite tener relaciones numéricas entre las raíces de una ecuación y sus respectivos coeficientes. EJEMPLO 1: Dado el polinomio: P(x) = 2x3 – 6x2+7x – 8 Si: r1; r2; r3 son sus raíces, entonces: 1 2 3 1 2 1 3 2 3 ( 6) 7 r +r +r = =3 r r +r r +r r = 2 2   301 1 2 3 ( 8) r r r = =4 2   EJEMPLO 2: Sea: 5x4  3x3 +2x  3=0 Hallar la suma de sus raíces. RESOLUCIÓN: Teniendo en cuenta que la suma de las raíces de una ecuación de grado ‘‘n’’ es igual al coeficiente de xn–1 entre el coeficiente de xn, con signo cambiado; se tendría: 4 4 3 3 Coef. de x =5 5x 3x +2x 3=0 Coef. de x = 3        * Entonces suma de raíces: 1 2 3 4 3 3 x + x +x + x = = 5 5   EJEMPLO 3: Resolver: x3 – x2 – x – 2=0 Sabiendo que dos de sus raíces suman menos uno. RESOLUCIÓN: * Sean las raíces: {x1, x2, x3} * Por condición: x1+ x2= –1 ....................... (I) * Del teorema de Cardano - Vieta 1 2 3 1 x + x + x = =1.........................(II) 1   * Reemplazando (I) en (II):  1+ x3=1 x3=2 * Siendo x3 =2, una de las raíces de la ecuación, esta contiene al factor (x – 2), obteniéndose el otro factor, por la regla de Ruffini: x = 2 1 – 1 – 1 – 2 2 2 + 2 1 + 1 1 0 * De donde, tendríamos: (x – 2)(x2+x+1)=0 * Igualando cada factor a cero: 2 x 2=0 x= 2 1 3i x + x+1=0 x= 2      * Las raíces de la ecuación dada son: 1 2 3 1 3i 1+ 3i x = ; x = ; x =2 2 2    TEOREMAS SOBRE LAS PARIDADES DE LAS RAÍCES I) PARIDAD DE RAÍCES IMAGINARIAS: Toda ecuación polinomial de coeficientes reales que tenga una raíz compleja de la forma ‘‘a+bi’’ donde a y b   i= 1 . Tendrá necesariamente por raíz al complejo conjugado de la raíz inicial: es decir la otra raíz será: ‘‘a – bi’’; (b  0). II) PARIDAD DE RAÍCES IRRACIONALES : Si una raíz del polinomio P(x) de coeficientes racionales, es el número irracional a+ b (a, b  b>0  b  ), entonces necesariamente otra raíz de la ecuación será el irracional conjugado: a b OBSERVACIÓN: Todas las raíces imaginarias de una ecuación polinomial, con coeficientes reales, se presentan por PARES, las cuales son dos a dos números imaginarios y conjugados. Por ello, el número de raíces imaginarias de este tipo de ecuaciones es par. COROLARIO: Toda ecuación polinomial, con coeficientes reales y de grado impar , tiene por lo menos una raíz real. III) TETRARIDAD DE LAS RAÍCES IRRACIONALES : Si una ecuación polinomial Pn(x)=0, con coeficientes racionales, admite la raíz irracional ( a+ b), donde a y b son racionales positivos no cuadrados perfectos ( a, b son irracionales entonces, su irracional conjugado ( a  b ) su opuesto ( a  b ) y el conjugado de su opuesto ( a+ b ), también son raíces de dicha ecuación IV) TERNARIDAD DE LAS RAÍCES COMPLEJAS : Si una ecuación polinomial Pn(x)=0, con coeficientes racionales , admite la raíz irracional 3 a, donde a es un racional no cubo perfecto, entonces 3 aw y su conjugada 3 aw2 también son raíces de dicha ecuación; siendo ‘‘w’’ una de las raíces cúbicas imaginarias de la unidad. 302 EJEMPLO 1: 2 1 2 2 1 2 4 2 1 2 3 4 3 2 1 2 3 Ecuación Raíces 1 3 1 3 x + x+1 x = + i ; x = i 2 2 2 2 x 4x 1 x = 2+ 5 ; x = 2 5 x = 2+ 3 ; x = 2 3 x 10x +1 x = 2+ 3 ; x = 2 3 x 4x +14x 20 x =1+3i ; x =1 3i ; x = 2               EJEMPLO 2: Construir una ecuación de menor grado, donde una de sus raíces es: 1+2i RESOLUCIÓN: * Por el teorema de la paridad de raíces imaginarias, si x1=1+2i es raíz entonces x2=1 – 2i también lo será, luego una de las2ecuaciones de menor grado es: 1 2 1 2 2 x (x + x )x+ x x = 0 x 2x+3=0 (1+ 2i)(1 2i)      EJEMPLO 3: Si una de las raíces de: x2+ px+ q= 0,  p; q , es: 1 2 ; calcular ‘‘p’’ y ‘‘q’’. RESOLUCIÓN: * Como los coeficientes de la ecuación son números racionales, aplicamos el teorema de la paridad, se tiene que si x1 =1 2 es una raíz , luego la otra raíz será necesariamente x2 =1+ 2 , luego formemos la ecuación: 2 1 2 1 2 2 2 x (x + x )x+ x x =0 x (1 2+1+ 2 )x+(1 2 )(1+ 2 )=0 x 2x 1=0         * Comparándola con: x2+px+q=0 * Se obtiene: p= 2  q=1 OTROS TEOREMAS: A) Si una raíz de la ecuación polinomial: n n 1 P(x)= a0x +a1x +...+an 1x+an=0   con coeficientes enteros (a0  0) , es el número entero ‘‘p’’, entonces necesariamente ‘‘p’’ es un divisor de ‘‘an’’. B) Además si una raíz es p (p, q q 0 p q q     y son primos entre sí; entonces necesariamente ‘‘p’’ es un divisor de ‘‘an’’ y ‘‘q’’ un divisor de ‘‘a0’’. C) También si P(1) y P(0) son números enteros impares, entonces la ecuación no tiene raíces enteras. EJEMPLO: Sea la ecuación: P(x)= x2 – x – 5=0 * Como: P(1)= 12 – 1 – 5= – 5 P(0)= 02 – 0 – 5= – 5 * Entonces como P(1) y P(0) son impares entonces la ecuación x2  x  5 = 0 no presentan raíces enteras. TEOREMA DE BOLZANO (TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO) Este teorema es aplicable para funciones continuas, aquí lo aplicaremos para polinomios. ‘‘En todo polinomio P(x) de coeficientes reales, si P(a) P(b)’’. EJEMPLO: Sea: P(x)= 2x3  15x2  28x+40 Se observa que: 3 2 3 2 P(0)=2(0) 15(0) 28(0)+40=40 P(0)>0 P(1)=2(1) 15(1) 28(1)+40= 1 P(1) LÍMITES O COTAS DE LAS RAÍCES Al buscar las raíces reales de una ecuación , tal como lo haremos , es útil conocer un intervalo de valores que contenga todas las raíces. Todo número que sea mayor o igual a la mas grande de las raíces, se llama límite superior de las raíces.Cualquier número que sea menor o igual a la raíz más pequeña se llama límite inferior de las raíces. Los límites superior e inferior pueden determinarse aplicando el siguiente teorema. TEOREMA: I) Si en la división sintética de ruffini en un polinomio f (x) entre x – r , donde r es positivo, cada término del tercer renglón es positivo (algunos pueden ser nulos), entonces r es un límite superior para las raíces reales de la ecuación f(x)=0. II) Si r es negativo y los términos del tercer renglón son alternativamente positivos y negativos(tomando el cero en el tercer renglón ya sea como positivo o negativo) , entonces r es un límite inferior para las raíces. 303 La verdad del teorema puede observarse inmediatamente. Si una r positiva produce términos positivos en el cociente del proceso de la división , un número mayor que r aumentaría todos los términos del renglón siguiente al primero. El último término del tercer renglón no podría entonces ser nulo. En consecuencia , un valor mayor que r no es raíz de la ecuación. Por un razonamiento completamente similar, puede ser establecida la segunda parte del teorema. EJEMPLO: Encontrar los límites superior e inferior de las raíces de la ecuación 2x3 – 5x2 –7x+4 = 0 RESOLUCIÓN: Mostramos la prueba para r=3 y r=4: tercer renglón tercer renglón 2 5 7 + 4 3 +6 +3 12 2 +1 4 8¬ 2 5 7 +4 4 +8 +12 +20 2 +3 +5 + 24¬           * Estas pruebas muestran que el entero más pequeño que es límite superior , determinado por el teorema, es 4. * En seguida probamos enteros negativos, comenzando con – 1. tercer renglón tercer renglón 2 5 7 +4 1 2 +7 +0 2 7 +0 +4¬ 2 5 7 + 4 -2 4 +18 22 2 9 +11 18¬               Puesto que – 2 hace a los términos del tercer renglón de signos alternados, este número es un límite inferior. Por tanto, todas las raíces reales de la ecuacion dada están entre – 2 y 4. OBSERVACIÓN: la cota o límite superior(S) e inferior(I) de las raíces también se puede determinar mediante las siguientes fórmulas de lagrange: P P 0 0 G G S =1+ I = 1+ a a       donde: P: Diferencia entre el grado de la ecuación y el grado del primer término con coeficiente negativo. G: Valor absoluto del menor coeficiente negativo del polinomio. a0 : primer coeficiente de la ecuación. NOTA: el valor de S se calcula a partir de f(x),mientras que el valor de I se calcula a partir de f( – x), siendo necesariamente a0 positivo. EJEMPLO: en: f(x)= x5+ 2x4+ 5x3 – 7x2– 32x –160 = 0 * la raíces probables son: 1 ;  2 ;  4 ;  8 ; 16 ;  32 ; 5 ;  10 ;  40 ;  80 ;  160 * Cálculo de S: 5 2 160 S=1+ 1 6=7 1    luego las únicas raíces positivas probables serán: 1; 2 ; 4 ; 5 * Cálculo de I: f(– x)= – x5+2x4– 5x3– 7x2+32x –160=0 * Pero para calcular I es necesario que a0>0, por lo que multiplicaremos por (–1) ambos miembros de la ecuación, así: x5– 2x4+5x3+7x2– 32x+160=0 P=5 – 4=1 ; G=32 y a0=1 * entonces: 5 4 32 I = 1+ = 33 1          * Por lo que las únicas raíces negativas probables serán: – 32 ; –16 ; –8 ; – 4 ; –2 ; –1 ; – 5; –10 y – 20. REGLA DE SIGNOS DE DESCARTES De un polinomio f(x) , con los términos escritos en orden de potencias descendentes de x, se dice que tiene un cambio de signo (variación) si dos terminos consecutivos tienen signos opuestos. Toda potencia de x faltante debe rechazarse en esta definición (no se ponen los coeficientes iguales a cero) . 304 EJEMPLO: El polinomio 2x5–x4–3x3+x2–2 tiene tres cambios de signo (3 variaciones). V 5 4 3 2 V V 2xx 3x+x  2 Hay un cambio de 2x5 a – x4 , otro de – 3x3 a +x2, y un tercero de + x2 a – 2. Los cambios del signo suministran alguna informacion sobre las raíces de una ecuación polinomial. Con relación a esto enunciemos el siguiente teorema: TEOREMA: (Regla de signos de Descartes) El número de raíces positivas de una ecuación polinomial f(x)=0 es igual al número de cambios de signo en f(x), o es menor que ese número según un múltiplo de 2. El número de raíces negativas de f(x)=0 es igual al número de cambios de signo en f(– x), o es menor que ese número según un múltiplo de 2. NOTA: Aunque se omite la demostracion de esta regla, la aplicaremos a algunas ecuaciones. De acuerdo con la regla, un solo cambio de signo significa que hay solamente una raíz positiva. Para un número de cambiosmayor que 1, la regla no proporciona ninguna información definida. Cuatro cambios, por ejemplo, revelan que hay cuatro, dos, o ninguna raíz positiva. EJEMPLO 1: Aplicar la regla de signos de Descartes a la ecuación: x3 + 7x2 + 8x –17=0 RESOLUCIÓN: * Como el primer miembro f(x) tiene un cambio de signo. Entonces la ecuación tiene exactamente una raíz positiva. Para hacer la prueba de las raíces negativas, substituimos x por – x y tenemos: f(–x)= – x3 + 7x2 – 8x – 17 Aquí hay dos cambios de signo. De acuerdo con la regla, la ecuacion dada tiene dos raíces negativas o ninguna negativa. Concluimos, por lo tanto, que la ecuación original tiene una raíz positiva y que las dos raíces restantes son ambas negativas o imaginarias; estas son: N MERO TOTAL DE RA CES N MERO DE RA CES POSITIVAS(+) N MERO DE RA CES NEGATIVAS( ) N MERO DE RA CES IMAGINARIAS ú í 3 3 ú í 1 1 ú í 2 0 ú í 0 2  !RECUERDA¡ Dado un polinomio P(x) con coeficientes Reales, se denomina variación al paso de un término a otro consecutivo de diferente signo, y permanencia si son de signos iguales. REGLA: * El número de raíces positivas de un polinomio P(x) con coeficientes Reales no excede al número de variaciones del polinomio y cuando es menor su diferencia es un número par. * Para analizar el número de raíces negativas de un polinomio P(x) bastará con analizar P(–x). EJEMPLO2: En: 7 6 5 3 * Hay 3 variaciones, entonces este polinomio no tendrá más de 3 raíces positivas. * Luego: 7 6 5 3 Como presenta 2 variaciones, entonces no tendrámás de 2 raíces negativas. EJEMPLO 3: Aplicar la regla de signos de Descartes a la ecuación: f(x)=3x5 +4x3 + 2x – 5= 0 RESOLUCIÓN: *el polinomio f(x) tiene un cambio de signo de 2x a – 5; por consiguiente la ecuación tiene exactamente una raíz real positiva. * ahora: f(–x)= – 3x5 – 4x3– 2x – 5=0 f(– x) no tiene variación de signo , entonces no hay real negativa. Por lo tanto la ecuación original tiene una raíz real y cuatro complejas . 305 REGLA DE BUDAN: sean Va y Vb el número de cambios de signos en las sucesiones: (n) (n) derivadas de P(x) P(a); P (a);P (a); ........ ; P (a) P(b); P (b);P (b); ........ ; P (b)          respectivamente; entonces el número de ceros o raíces de P(x) en [a; b] es igual , bien a (Va–Vb) ó (Va– Vb)menos un número par. NOTA: El intervalo [a;b] se puede estimar mediante el teorema del valor intermedio. EJEMPLO: sea: P(x)=x4 –10x3+32x2–18x+15=0 * Tomemos [0;2] (debemos adecuadamente el intervalo); luego evaluamos los polinomios y las derivadas en a=0 y b=1, así: 4 3 2 3 2 2 iv iv iv P(x)=x 10x +32x 18x+15 P(0)=15 P(2)=43 P'(x)=4x 30x +64x 18 P'(0)= 18 P'(2)=22 P''(x)=12x 60x+64 P''(0)=64 P''(2)= 8 P'''(x)=24x 60 P'''(0)= 60 P'''(2)= 12 P (x)=24 P (0)=24 P (2)=24                y y y y y * ahora formemos la sucesión: a b 15; 18;64; 60; 24 V =4 43; 22; 8; 12; 24 V =2          entonces: Va–Vb= 4 – 2=2, dando entender que en [0; 2] hay 2 raíces o ninguna (2 – 2= 0). TEOREMA DE LAS RAÍCES MÚLTIPLES Si el polinomio P(x)=(x  a)kq(x)/q(a)  0 se cumple: Si: P(a)=0, entonces: P'(a)=0  P''(a)=0  ...........  P(k1)(a)=0 Es decir, todas sus derivadas hasta el orden (k – 1) se anulan en ‘‘a’’ (se hacen cero). EJEMPLO: Sea: P(x)=x2+x+4 Se observa que: P(–2)=(–2)2+4(–2)+4=0 * Además: P'(x)=2x+4  P'( 2)=2( 2)+4=0 * Entonces – 2 es una raíz doble del polinomio. OBSERVACIÓN: Sea: 2n 2n 1 2n 2 P'(x)=a0x +a1x +a2x +...+a2n   Un polinomio de grado par y coeficientes reales y si: a0a2n0  x1  , x2=x3  x2 , x3   es decir una raíz real y las otras 2 imaginarias y además conjugadas. ANÁLISIS GEOMÉTRICO Sea el polinomio P(x)=ax3+bx+c ; a, b, c de raíces x1 , x2 , x3 y discriminate . EJEMPLO: Analice las raíces de: x3 – x+3=0 RESOLUCIÓN: * En este caso: p = –1; q = 3 2 3 3 1 9 1 = + = >0 2 3 4 27 >0                   * De donde concluimos que la ecuación presenta 1 raíz real y 2 imaginarias. ECUACIÓN CUÁRTICA O DE CUARTO GRADO Son aquellas de la forma: P(x)= ax4+bx3 +cx2 +dx+e=0; a  0 RESOLUCIÓN DE FERRARI Sea la ecuación x4+2px3+qx2+2rx+s=0 se busca formar cuadrados perfectos. * Sumando miembro a miembro (ax+b)2 a fin de que ambos miembros sean cuadrados perfectos. x4+2px3+(q+a2 )x2+2(r+ab)x+(s+b2 )=(ax+b)2 * Supongamos que el primer miembro sea (x2+ px+k)2 . * Por identidad de polinomios: p2 +2k= q+a2 ; kp= r+ab; k2 = s+b2 * Eliminando a y b de estas ecuaciones tenemos: (pk – r)2=(p2+2k – q)(k2– s) * Formándose la siguiente ecuación cúbica. 2k3  qk2 +2(pr  s)k p2s+qs  r2=0 * De esta ecuación cúbica puede hallarse siempre un valor real de k, con lo cual a y b quedan determinadas como: (x2 + px+k)2=(ax+b)2  x2 + px+k= (ax+b) * Luego, los valores de x se obtienen de las ecuaciones cuadráticas. x2+(p – a)x+k – b=0 x2+(p+ a)x+k + b=0 EJEMPLO: Resolver: x2–2x3+2x2+4x–8=0 RESOLUCIÓN: * Sumando a ambos miembros: (ax+b)2 =a2x2+2abx+b2 , resulta: x4  2x3+(a2+2)x2+2(ab+2)x+b2  8=(ax+b)2 * Sea el primer miembro igual a: (x2  x+k)2 * Por identidad de polinomios: a2 = 2k  1; ab=k  2; b2 = k2 +8 * Obteniéndose: (2k 1)(k2 +8)=(k 2)2 310  2k3  2k2 +12k 12=0 * De donde se obtendrá: k=1 * Entonces: a2=1 ; ab= 3 ; b2 =9  a=1 y b= 3 * Luego la ecuación: (x2 – x+k)2=(ax+b)2 queda: (x2 – x+1)2=(x – 3)2  x2 – x+1=  (x – 3) * Es decir: x2 – 2x + 4=0 ........(I) x2 – 2=0 ................(II) * Obteniéndose finalmente de (I) y (II): x1= 2 ; x2= 2 ; x3=1+ 3i; x4=1  3i RESOLUCIÓN DE DESCARTES * Haciendo a x=y 4  , la ecuación queda reducida en: y4 – qy2+ry+s=0 (ecuación cuártica incompleta) * Suponga que el polinomio cuártico queda y4 +qy2 +ry+s=(y2 +ky+ )(y2  ky+m), * De la igualdad de polinomos se tiene:  +m k2=q; k(m  )= r; m=s * De las dos primeras ecuaciones: 2 r 2 r 2m=k +q+ , 2 =k +q k k   y reemplazando En la tercera: (k3 +qk+r)(k3 + qk  r)=4sk2 * Es decir: k6+2qk4+(q2  4s)k2  r2=0 * Esta es una ecuación cúbica en k2 que tiene siempre una solución positiva. Cuando se conoce k2 se conocen los valores de  y m y la solución de la cuártica incompleta se obtiene resolviendo las dos ecuaciones cuadráticas. 2 2 y +ky+ =0 y  ky+m=0  EJEMPLO: Resolver: x4  13x2  4x+2=0 RESOLUCIÓN: * Haciendo: x4  13x2  4x+2=(x2 +kx+ )(x2  kx+m) * De donde por igualdad de polinomios resulta: 2 2 2 4 m+ = k 13 2m= k 13 k 4 4 m = 2 = k + 13 k k m =2                 * De donde: 2 2 3 3 2 3 2 2 6 4 2 4 4 (k 13)(k + 13)=4(2) k k (k 13k 4)(k 13k+4)= 8k (k 13k) 16=8k k 26k +161k 16=0              * Resolviendo resulta k=4, entonces: m+=3 ; m = 1 m= 1  =2 * Luego: x4  13x2  4x+2=(x2 +4x+2)(x2 +4x  1) * Entonces: 2 2 x +4x+2=0 x= 2 2 x 4x+1=0 x=2 3 2+ 2 ; 2 2 ; 2+ 3 ; 2 3           ECUACIÓN GENERAL DE QUINTO GRADO El éxito obtenido al resolver las ecuaciones de tercero y cuarto grado llevaron a los matemáticos de la época de Bombelli a intentar, por métodos similares, resolver la ecuación general de quinto grado: x5+bx4+ cx3+ dx2+ cx + f = 0 pero todos sus esfuerzos fallaron. La razón de este fracaso fue descubierta en 1824 por el joven y genio matemático noruego N.H. Abel (1802–1829), quien demostró que la ecuación general de quinto grado no se puede resolver por radicales. Es decir, no se encuentra una expresión, donde las operaciones de adición, sustracción,multiplicación, división y el cálculo de raíces cuadradas, cúbicas, cuartas, etc., de explícitamente las raíces de un polinomio arbitrario, mónico, de grado 5, en términos de los coeficientes del polinomio. Los resultados más importantes en la teoría de ecuaciones polinomicas se logran en las investigaciones del matemático francés, contemporaneo deAbel, Evariste Galois (1811–1832). La teoría de Galois no solamente muestra por que es imposible resolver la ecuación general de quinto grado por radicales, sino también por qué es posible resolver las ecuaciones de tercero y cuarto grado. ECUACIÓN BICUADRADA Es la ecuación polinomial de cuarto grado que contiene solamente potencias pares de la incógnita, su forma canónica o general es: ax4+bx2 +c=0 ; abc  0 ‘‘a’’; ‘‘b’’ y ‘‘c’’ son los coeficientes; ‘‘x’’ es la incógnita. 311 RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN BICUADRADA Sea: ax4 +bx2 +c= 0 ; a  0 * Realizando el cambio: x2=y, la ecuación se puede transformar a una de segundo grado, llamada ECUACIÓN RESOLVENTE, de la forma: ay2 +by+c=0 ; a  0 * Cuya solución general es: b b2 4ac y= 2a    * Como: y= x2 , se tiene: 2 2 b b 4ac x = 2a    * Por lo tanto: b b2 4ac x= ..............................(I) 2a     donde:  =b2  4ac........(Discriminante o invariante) Siendo ésta, la solución general de la ecuación bicuadrada (I). Haciendo todas las combinaciones posibles de los signos en (I), se obtienen las siguientes raíces: 1 2 3 4 b+ b+ x =+ ; x = 2a 2a b b x =+ ; x = 2a 2a             OBSERVACIÓN: La ecuación bicuadrada ax4+bx2 +c=0; se puede resolver por factorización (Aspa simple). Si: b2 – 4ac; es un cuadrado perfecto. EJEMPLO 1: Resolver: 9x4  13x2 +4= 0 RESOLUCIÓN: * Dado que: a = 9 ; b = –13 ; c = 4 b2  4ac=(13)2  4(9)(4)= 25 ; es un cuadrado perfecto, la ecuación es factorizable; en efecto los factores de: 9x4  13x2 +4=0 9x –4 x –1 –4x –9x 2 2 2 2 –13x2 Son: (9x2  4)(x2  1)=0 * Asimismo, cada paréntesis se puede factorizar aplicando diferencia de cuadrados, es decir: (3x+2)(3x  2)(x+1)(x  1)=0 * Igualando cada factor a cero las raíces correspondientes son: 1 2 3 4 2 2 x = ; x = ; x = 1; x =1 3 3   EJEMPLO 2: Resolver: 36x4  73x2 +16 = 0 RESOLUCIÓN: * Factorizando por aspa simple: (4x2  1)(9x2  16)=0 * Igualando cada factor a cero: 2 2 1 4x 1=0 x= 2 4 9x 16=0 x= 3            * Entonces: 1 1 4 4 C.S.= ; ; ; 2 2 3 3         EJEMPLO 3: Resolver: 2x4 +3x2  5 =0 RESOLUCIÓN: * Cálculo del discriminante:  =(3)2  4(2)( 5)= 49 * Reemplazando en la solución general: * Se tiene: 3 49 x= 2(2)    * Luego, las raíces por separado son: 1 2 3+7 3+7 x =+ =1; x = = 1 4 4     * Además: 3 4 3 7 10 x =+ = i 4 2 3 7 10 x = = i 4 2       NOTA: Algunas ecuaciones bicuadradas se pueden resolver factorizando el polinomio (ax4+bx2+c) en dos factores cuadráticos. EJEMPLO 4: Resolver: 9x4+481x2–10000=0 RESOLUCIÓN: * Aplicando el criterio del aspa simple, se tiene: 9x +625 x – 16 2 2 (9x2 +625)(x2  16)=0 * Igualando a cero cada factor cuadrático: 312 2 2 2 2 9x +625=0 x 16=0 625 x = x =16 9 25 x= i x= 4 3     ó ó ó * Luego, el conjunto solución S, será: 25 25 S = i; i; 4; 4 3 3         siendo i= 1, la unidad imaginaria. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN BICUADRADA Sea la bicuadrada en ‘‘x’’: ax4 +bx2 +c=0 ; abc  0 Si ‘‘m’’ y ‘‘n’’ son dos raíces no simétricas, entonces: ‘‘– m’’ y ‘‘– n’’ también lo serán. I) Las raíces de la ecuación bicuadrada son opuestas dos a dos es decir: x1 = m ; x2 = m ; x3 = n ; x4= n II) Suma de productos binarios: 2 2 1 2 3 4 b b x x + x x = m +n = a a   III) Producto de raíces: 2 2 1 2 3 4 c c x x x x = m n = a a  EJEMPLO: Dada la ecuación bicuadrada: 6x4+10x2+9=0 Si x1+x2+x3 y x4 son raíces de lamisma se verifican las relaciones (por Cardano Viéte): 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 10 5 * x + x + x + x =0 * x x + x x = = 6 3 9 3 * x x x x = = 6 2 RECONSTRUCCIÓN DE LA ECUACIÓN BICUADRADA Conociendo dos raíces, cuya suma no sea cero. (no simétricas). Una ecuación bicuadrada en ‘‘x’’, donde dos de sus raíces son ‘‘m’’ y ‘‘n’’ (m+n  0) viene dada por: 4 2 4 2 2 2 2 2 Suma de Producto x + x + =0 productos binarios de raíces x (m +n )x +m n =0             ó  EJEMPLO 1: Formar la ecuación bicuadrada, dos de cuyas raíces son: – 3 y 2i RESOLUCIÓN: * En este caso: m= –3 y n=2i, luego la ecuación será: 4 2 2 2 2 2 4 2 x ( 3) +(2i) x +( 3) (2i) =0 x 5x 36=0         EJEMPLO 2: Una de las soluciones de una ecuación bicuadrada es 5. Reconstruir la ecuación; si: x1x2x3x4=225 RESOLUCIÓN: * Si una de las raíces es x1=5, entonces la otra será: x2= – 5 * Reemplazando en el dato: (5)( 5)x3 x4 = 225  x3 x4 =  9 * Pero si: x3 = n  x4  n , luego: n( n)=9  n=3 * Se pide: 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 x (m +n )x +m n =0 x (5 +3 )x +5 3 =0 x 34x + 225 =0       EJEMPLO 3: Muestre la ecuación bicuadrada de coeficientes enteros, en la cual una de cuyas raíces es: 10+ 11 2 RESOLUCIÓN: * Una forma práctica es racionalizando gradualmente este valor irracional, así: 10+ 11 x= 2x= 10+ 11 2  * Elevando al cuadrado ambos miembros: 4x2 =10+ 11  4x2  10 = 11 * Nuevamente al cuadrado, se obtiene: 16x4  80x2 +100=11 * Transponiendo 11, resulta lo que nos piden: 16x4  80x2 +89=0 EJEMPLO 4: Calcular ‘‘m’’ para que las cuatro raíces de la ecuación bicuadrada: x4 (3m+10)x2 +(m+2)2 =0 , forme una progresión aritmética. RESOLUCIÓN: 313 * Sean  ,  ,  ,  las raíces con    , luego como están en progresión aritmética, entonces:    =  ( ) =3 * De la ecuación: 2 2 2 2 2 + =3m+10 ............................(I) =(m+2) =m+ 2 .........................................(II)       * De (I)  (II): 2 2 2 2 + 3m+10 = m+ 2 +(3 ) 3m+10 10 3m+10 = = (3 ) m+2 3 m+ 2          * Resolviendo: m=10 ECUACIÓN BINOMIA Es aquella ecuación de dos términos y que presenta la siguiente forma general: axn+b=0 donde: ab  0 ; n  n  3 Para resolver esta ecuación podemos aplicar productos notables o los criterios de factorización, así como también las aplicaciones de los números complejos (Teorema de Moivre). * En: axn +b=0 n n b b x = x= a a     * Luego: CASO I: Si: b < 0 a n n n n k b b x= (1)= 1 a a b 2k 2k x = cos +isen a n n k=0 ; 1 ; 2 ; ... ; (n 1)                         CASO II: Si: b >0 a n n n n k b b x= ( 1)= 1 a a b (2k+1) (2k+1) x = cos +isen a n n k= 0 ; 1 ; 2 ; .....; (n 1)                        TEOREMA: Las ecuaciones binomias sólo tienen raíces simples, no aceptan raíces múltiples. EJEMPLO 1: Resolver: 9x4  1= 0 RESOLUCIÓN: * Factorizando: (3x2 +1)(3x2  1)=0 2 2 2 2 3x +1= 0 3x 1= 0 1 1 x = x = 3 3 1 1 x= x= 3 3 3 3 x= i x= 3 3 3 3 3 3 C.S.= i ; i ; ; 3 3 3 3                         EJEMPLO 2: Resolver: x3 – 64=0 RESOLUCIÓN:   3 3 3 3 En En  x =64  x= 64= 64  1   * Pero: 3 1 1 1 3 1= + i x = 4(1)= 4 2 2 1 3 i 2 2          2 3 1 3 x =4 + i = 2+ 2 3i 2 2 1 3 x = 4 i = 2 2 3i 2 2 C.S.= 4; 2+ 2 3i; 2 2 3i                       EJEMPLO 3: Resolver: x3 + 8 =0 RESOLUCIÓN: * Lo podemos resolver aplicando productos notables y la resolución de la ecuación cuadrática:   3 2 2 2 x +8=0 (x+2)(x 2x+4)=0 (x+2)(x 2x+4)=0 x+2=0 x 2x+4=0 x= 2 x=1+ 3i x=1 3i C.S. : x 2; 1+ 3i;1 3i                  314 ECUACIÓN TRINOMIA Son aquellas ecuaciones de tres términos que presentan la siguiente forma general: ax2n+bxn+c=0 ;  abc  0  n Estas ecuaciones se resuelven factorizando o realizando el cambio de variable: xn=y; lo que la convierte en una ecuación cuadrática después de resolver esta, se repone la variable original y se hallan las soluciones de la ecuación trinomia. * En la ecuación: ax2n+bxn+c=0 2 2 1,2 2 2 1 2 b b 4ac ay +by+c=0 y = 2a b+ b 4ac b b 4ac y = y = 2a 2a             * En (I): 2 2 n n 2 2 n n b+ b 4ac b+ b 4ac * x = x= 2a 2a ó b b 4ac b b 4ac * x = x= 2a 2a             EJEMPLO 1: Resolver: 8x6 +7x3 – 1=0 RESOLUCIÓN: * Factorizando: (8x3+1)(x3 – 1)=0 (2x+1)(4x2  2x+1)(x  1)(x2 +x+1)=0 2x+1=0 4x2 2x+1=0 x 1=0 x2+x+1=0 1 1 3i 1 3i x= x= x=1 x= 2 4 2 1 1+ 3i 1 3i 1+ 3i 1 3i C.S.= ; ; ; 1; ; 2 4 4 2 2                         EJEMPLO 2: Resolver: x6+19x3–216=0 RESOLUCIÓN: * Factorizando: (x3+27)(x3– 8)=0 3 3 3 3 3 3 x +27 =0 x 8=0 x = 27 x = 8 x= 3 1 x= 2 1         ó * Entonces: x1 =( 3)(1)=  3 1 2 3 x =( 3)(1)= 3 1 3 3 3 x =( 3) + i = 3i 2 2 2 2 1 3 3 3 x =( 3) i = + 3i 2 2 2 2                     4 5 6 x =(2)(1)=2 1 3 x =(2) + i = 1+ 3i 2 2 1 3 x =(2) i = 1 3i 2 2                   * Luego: 3 3 3 3 C.S.= 3; 3i; + 3i; 2; 1+ 3i; 1 3i 2 2 2 2           EJEMPLO 3: Resolver: x6 – 10x3+16=0 RESOLUCIÓN: * Factorizando:     3 3 3 3 3 3 3 1 4 3 2 3 2 2 5 3 6 (x 8)(x 2)= 0 x =8 x =2 x = 8 x = 2 x =2 ; x = 2 x = 2w ; x = 2w x =2w ; x = 2w        donde: 1 3 w= + i / i= 1 2 2   ECUACIONES RECÍPROCAS Se denominan así a aquellas ecuaciones polinómicas o racionales en las que al intercambiar x 1 x la ecuación que se obtiene es equivalente a la original. Estas ecuaciones pueden ser de grado par o impar, y se pueden reconocer también porque los coeficientes de sus términos equidistantes son iguales en valor absoluto. Presentan las siguiente forma general: axn+bxn1+cxn2 +...+cx2 +bx+a=0 donde n  n  2 PROPIEDADES: * Si ‘‘r’’ es raíz de la ecuación recíproca entonces: ‘‘1/ r’’ también es raíz de la ecuación. * Si la ecuación es recíproca de grado impar, tiene una raíz ‘‘1’’ ó ‘‘–1’’ (se evalúa para determinar cual de ellas es la raíz). * Si P(x)=0 es una ecuación polinómica de grado ‘‘n’’, se cumple: n 1 P(x)= x P x       * De la definición, los polinomios recíprocos son de la forma: 2 3 2 ax+b ax +bx+a ax +bx +bx+a 315 4 3 2 5 4 3 2 ax +bx +cx +bx+a ax +bx +cx +cx +bx+a E JEMPLOS: 3 2 4 3 2 5 4 3 2 2x +5x +5x+2=0 x 7x +6x 7x+1=0 3x +2x +5x 5x 2x 3=0      * Para la resolución se debe agrupar los términos equidistantes de los extremos, factorizar n x 2 (si n es par) para luego realizar el siguiente cambio de variable: 2 2 2 3 3 3 1 x + = y 2 1 x x+ = y x 1 x + = y 3y x         * Para que la resolución sea más clara, veamos los dos siguientes casos: I) ECUACIÓN RECÍPROCA DE GRADO PAR : Se factoriza la parte literal del término central y se agrupa convenientemente; luego se realiza el cambio de variable respectivo: * Si: Si: 2 2 2 2 2 2 1 1 x+ =a x =a x x 1 1 x + =a 2 x + =a +2 x x   3 3 3 3 3 3 1 1 x + =a 3a x =a +3a x x     * Se resuelve la ecuación con la nueva variable; luego se repone, la variable original y se resuelve, hallándose las soluciones de la ecuación recíproca. EJEMPLO 1: Resolver: 6x4–25x3+38x2–25x+6=0 RESOLUCIÓN: *Agrupando adecuadamente: 2 2 2 2 2 2 25 6 x 6x 25x+38 + =0 x x 1 1 x 6 x + 25 x+ +38 =0 ..........(I) x x                           * Realizando el cambio de variable en el corchete : 2 2 2 1 1 x+ = a x + = a 2 x x   * Reemplazando: 6(a2– 2) – 25a + 38=0 * Factorizando: (6a–13)(a–2)=0 * Reponiendo ‘‘x’’ y reemplazando en (I): 2 1 1 x 6 x+ 13 x+ 2 =0 x x                      * Efectuando: 2 2 2 (6x 13x+6)(x 2x+1)=0 (3x 2)(2x 3)(x 1) =0       * Igualando a cero cada factor el 2 3 C.S.= ; ; 1 3 2       NOTA: También se puede factorizar por aspa doble especial. EJEMPLO 2: Resolver: 12x4 – 4x3 – 41x2 – 4x+12x=0 RESOLUCIÓN: 2 2 2 2 2 2 4 12 P(x)=x 12x 4x 41 + x x 1 1 P(x)=x 12 x + 4 x+ 41 .......(I) x x                             * Hacemos: 2 2 2 1 1 x+ = a x + = a 2 x x   * En el corchete de (I): 12(a2 2) 4a 41 12a2 4a 65 (6a+13)(2a 5)         * Reponiendo ‘‘x’’: 2 2 2 2 1 1 x 6 x+ +13 2 x+ 5 =0 x x 6x +13x+6 2x 5x+ 2 x =0 x x (3x+ 2)(2x+3)(x 2)(2x 1)=0 3x+ 2=0 2x+3=0 x 2=0 2x 1=0 2 3 1 x= x= x=2 x= 3 2 2 2 3 1 C.S.= ; ; 2 ; 3 2 2                                                               II) ECUACIÓN RECÍPROCA DE GRADO IMPAR : * Se factoriza mediante el método de los divisores binómicos, evaluar para x=1 x=1 * Luego de obtener el factor lineal, el otro factor es un polinomio recíproco de grado par al cual se le aplica el método para resolver la ecuación recíproca de grado par. 316 EJEMPLO 1: Resolver: 6x5  29x4 + 27x3 + 27x2  29x+6=0 RESOLUCIÓN: * Factorizando por divisores binómicos: x + 1 = 0 6 6 –35 –6 –29 –35 27 62 27 x = –1 35 –62 6 –29 35 0 6 –6  (x+1)(6x4  35x3 +62x2  35x+6)=0 * Igualando cada factor a cero: 4 3 2 x+1=0 ; x= 1 6x 35x +62x 35x+6=0    * Aplicando el método para la ecuación recíproca de grado par: * Se obtiene: (2x2 – 5x+2)(3x2–10x+3)=0 * igualando a cero cada factor, el conjunto solución final es: 1 1 C.S. : 1 : ; 2 ;3 2 3       EJEMPLO 2: Resolver: 6x5  41x4 +97x3  97x2 +41x  6=0 RESOLUCIÓN: * La ecuación se verifica para x=1 6 6 –35 6 –41 –35 97 62 –97 x = 1 –35 62 6 41 –35 0 –6 6  (x  1)(6x4  35x3 +62x2  35x+6)=0 2 2 2 2 2 2 35 6 (x 1)x 6x 35x+62 + =0 x x 1 1 (x 1)x 6 x + 35 x+ +62 =0 x x                              * Haciendo: 2 2 2 1 1 x+ =a x + =a 2 x x   y luego de factorizar y reponer, resulta: 2 2 2 2 2 2x 5x+2 3x 10x+3 (x 1)x =0 x x (x 1)(2x 5x+2)(3x 10x+3)=0 (x 1)(2x 1)(x 2)(3x 1)(x 3)=0                          * Igualando cada factor a cero, se obtiene: 1 1 C.S.= 1; ; 2; ; 3 2 3     GRÁFICA DE UN POLINOMIO Como un polinomio P(x) es una función continua , entonces las coordenadas de los puntos de la gráfica de un polinomio se determina dando valores reales a la variable x, luego calculamos los valores correspondientes a P(x) y por lo tanto la gráfica del polinomio P(x) es el conjunto de puntos: ( x; P(x))/x  Ahora veremos algunos criterios que nos permita aproximar la gráfica de un polinomio evitando de esta manera la forma laboriosa de tabular los puntos (x; P(x)). En primer lugar , los puntos de la gráfica que corresponde a los ceros o raíces reales de un polinomio P(x) están sobre el eje X y son de la forma (x;0). I) Si x=a es una raíz real simple de la ecuación P(x)=0 la gráfica de P(x) corta al eje X en el punto (a;0). X Y 0 (a;0) I) Si x=a es una raíz de multiplicidad m par, la gráfica de P(x) es tangente al eje X en el punto (a;0). X Y 0 (a;0) III) Si x=a es una raíz demultiplicidadmimpar, la gráfica de P(x) es tangente y corta al eje X en el punto (a; 0) en este caso se dice que (a; 0) es un punto de inflexión de la gráfica de P(x). X Y 0 (a;0) Mediante el criterio de los puntos críticos se determina en que intervalos la gráfica está sobre el eje X y en que intervalos está la gráfica debajo del eje X. 317 MÉTODO DE NEWTÓN-RAPHSON (para aproximar raíces) Uno de los métodos más usados para resolver ecuaciones es elmétodo de Newton-Raphson, debido a sugran velocidad para obtener una buena aproximación a la raíz cuando un valor inicial es el elegido cercano a la raíz exacta . La figura da una descripción exacta. Para esto consideraremos la siguiente hipótesis: ‘‘La función F es continua en [a0 ; b0] y F(a0)×F(b0)

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