ECUACIONES POLINOMIALES DE GRADO SUPERIOR PROBLEMAS RESUELTOS PDF

Si es de grado impar y de cuyos coeficientes de los términos equidistantes son iguales y de signo contrario; entonces admite la ecuación como raíz a x=1. Resolver: 2x3  7x2 +7x  2=0 A) 1 y 2 B) 1; –1/2; 2 C)1; 1/2; 2 D) 2 y 1/2 E) 1/2 y 1 RESOLUCIÓN: * Factorizando: 2(x3  1) 7x(x  1)=0 * Por diferencia de cubos:   2 2 2 2(x 1)(x +x+1) 7x(x 1)=0, (x 1) 2x +2x+2 7x =0 (x 1)(2x 5x+2)=0 (x 1)(2x 1)(x 2)=0              * Igualando cada factor a cero: x 1=0 2x 1=0 x 2=0 1 x=1 x= x= 2 2         * Luego: 1 C.S.= 1; ; 2 2       RPTA: ‘‘C’’ PROBLEMA 2: La ecuación de segundo grado con coeficientes reales que admite como raíz el número complejo 2  i 3 es: A) x2 – 4x+7=0 B) x2 – 4x+1=0 C) x2+ 4x –1=0 D) x2+ 4x+1=0 RESOLUCIÓN: * Por propiedad de las ecuaciones cuadráticas con coeficientes reales, se sabe que si admite como raíz a un número complejo, entonces su conjugada también es raíz de dicha ecuación cuadrática. Si (2  i 3 ) es una raíz de la ecuación cuadrática; entonces (2+i 3 ) también lo es. * Por tal razón: 2 2 x (2+i 3 +2 i 3 )x+(2+i 3 )(2 i 3 )=0 x 4x+7=0      RPTA: ‘‘A’’ PROBLEMA 3: Si x es un número complejo, la parte imaginaria de una de las soluciones de x2  2x+i= 0 es: 1 A) 1 B) 1 C) 2+ 2 1 1 D) E) 1+ 2 2+2 2   RESOLUCIÓN: * Resolviendo la ecuación por la fórmula general:  2 2 2 4(1)(i) x= x=1 1 i 2(1)       * Expresando 1 – i en forma polar: x=1 2 cos(3 /4)+isen(3 /4) * Extrayendo la raíz cuadrada del número complejo: 4 3 /4 4 3 /4 x=1 2cos +i 2sen 2 2                * La parte imaginaria es: 4 3 /4 m(x)= 2sen 2         4 4 45° m(x)= 2cos 2 1 m(x)= 2 .......(ver trigonometría) 4 2 2 1 m(x)= 2+ 2 2                     RPTA: ‘‘E’’ PROBLEMA 4: Determinar la suma de las raíces que resulten al resolver: 3x3 – 13x2+13x – 3=0 A) 1/3 B) 1 C) 2/3 D) 4 E) 4 1/3 RESOLUCIÓN: * Por el Teorema de Cardano –Viéte: 1 2 3 (13) 13 1 x +x + x = = =4 3 3 3   RPTA: ‘‘E’’ PROBLEMA 5: El producto de las raíces del polinomio: P(x)= 2x4 +3x3  9x2  8x+12 es: A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 RESOLUCIÓN: * Por el Teorema de Cardano – Viéte: 4 1 2 3 4 12 x x x x =( 1) =6 2  RPTA: ‘‘D’’ PROBLEMA 6: Resolver: x5+3x4–7x3–21x2+12x+36=0 RESOLUCIÓN: 320 * Agrupando de dos en dos: 4 2 4 2 2 2 x (x+3) 7x (x+3)+12(x+3)=0 (x+3)(x 7x +12)=0 (x+3)(x 4)(x 3)=0       * Por diferencia de cuadrados: (x+3)(x+2)(x  2)(x+ 3 )(x  3 )=0 * Luego el conjunto solución, será: C.S.=3 ; 2 ; 2 ;  3 ; 3 PROBLEMA 7: Sean x1; x2; x3; x4 raíces de la ecuación: 2x4–3x3–12x2+7x+6=0 Calcular luego las raíces y la suma de los productos dos a dos de sus raíces. RESOLUCIÓN: * Factorizando por aspa doble: 2x -5x x -3 -2 2 2 x -5x2 2x4 -3x -12x + 7x + 6=0 3 2 * Luego: (2x2  5x  3)(x2 + x  2)=0 1 2 3 4 (2x+1)(x 3)(x+ 2)(x 1)=0 x = 1/2 ; x =3 ; x = 2 ; x =1       * Luego para determinar los productos de dos en dos de las raíces, apliquemos Cardano - Viéte: 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 12 x x +x x +x x +x x +x x +x x = = 6 2   PROBLEMA 8: Indique una solución de: 2x4+x3  5x2  7x  6=0 A) 3/2 B) 2/3 C) –2 D) 2 E)1 RESOLUCIÓN: * Factorizando por aspa doble: x  6 1 2x2 x2 -x x2  2 4 x 2x4+ x3  5x2  7x  6=0  (2x2  x  6)(x2 + x+1)=0 (2x+3)(x 2)(x2+x+1)=0 3 1 3i x= x=2 x= 2 2       ó ó RPTA: ‘‘D’’ PROBLEMA 9: Luego de resolver: x5  5x4+9x3  9x2+5x  1=0 Dar como respuesta la mayor solución de ‘‘x’’. 3+ 5 3 5 A)5 B)3+ 17 C) D) 4 2  RESOLUCIÓN: * Factorizando: 1 1 – 4 1 – 5 – 4 9 5 – 9 1 – 4 5 1 5 – 4 0 – 1 1 * El polinomio es: x2 –3x – x 1 1 Aspa Doble x2 (x  1)(x4  4x3 +5x2  4x+1)=0 1 2 3 2 2 x =1 3 5 1 3i x = x = 2 2 (x 1)(x 3x+1)(x x+1)=0       * La mayor solución es: 3+ 5 2 RPTA: ‘‘C’’ PROBLEMA 10: Al resolver: 2 36 3 x 1+ = (4x 3) x +9 x        dar como solución la raíz que tenga multiplicidad cuatro. A) 1 B) 2 C) 3 D) –1 E) 0,5 RESOLUCIÓN: * Efectuando se tiene: x2(x2 +45)= 3(x2 +9)(4x  3) * Efectuando queda: x4 12x3+54x2 108x+81=0 x –6x x –6x 9 9 2 2 * Se tiene: (x2  6x+9)2 =0  (x  3)4 =0  x= 3 * Entonces 3 es una raíz de multiplicidad 4. RPTA: ‘‘C’’ PROBLEMA 11: Resolver: (x  5)(x  7)(x+4)(x+6)= 504 Dar como respuesta las raíces positivas. A) 8 y 3 B) 7 y 2 C) 8 y 2 D) 7 y 3 E) 8 ; 3 y 2 321 RESOLUCIÓN: * Efectuando: 2 2 (x 5)(x+4)(x 7)(x+6)= 504 (x x 20)(x x 42)= 504        * Haciendo: x2  x= y se obtiene: 2 2 1 2 (y 20)(y 42)= 504 y 62y+840 504=0 y 62y+336=0 y = 56 (y 56)(y 6)=0 y =6              * Reemplazando: 2 2 1 2 2 2 3 4 I) x x= 56 x x 56=0 (x 8)(x+7)=0 x = 8 ; x = 7 II) x x=6 x x 6=0 (x 3)(x+2)=0 x =3 ; x = 2                 * Las raíces son: 8; – 7; 3; – 2 RPTA: ‘‘A’’ PROBLEMA 12: Luego de resolver: 2x4 + x3  6x2 + x+ 2= 0 Dar como respuesta el valor real de x. A) 2 B) 3 C) 4 D) 1 E) 5 RESOLUCIÓN: * Factorizando: 2 2 2 2 2 2 1 2 x 2x + x 6+ + =0 x x 1 1 x 2 x + + x+ 6 =0 x x                          * Haciendo: x+ 1 =a x   2 2 2 2 x 2(a 2)+a 6 =0 x 2a 10+a =0        * Factorizando: x2(2a+5)(a  2)=0 * Reemplazando: 2 1 1 x 2 x+ +5 x+ 2 =0 x x                        * Simplificando queda: 2 2 5 17 (2x +5x+1)(x 1) =0 x=1 x= 4     ó RPTA: ‘‘D’’ PROBLEMA 13: Hallar (A+B) de x4  x3  5x2 + Ax+ B = 0 siendo A y B números racionales y 1+ 2 dos de sus raíces. A) 5 B) 3 C) 1 D) –1 E) –3 RESOLUCIÓN: * Las raíces son: x1=1+ 2 x2=1  2 * Luego sus factores son: x2 2x 1 (x 1 2 )(x 1+ 2 )=0    * Dividiendo por Horner: 1 2 – 4 2 – 1 0 – 5 1 1 1 1 2 A 1 1 0 B – 2 – 2  A  3=0 y B  2=0  A=3 y B=2 * Se pide: 3 + 2 = 5 RPTA: ‘‘A’’ PROBLEMA 14: Sean ‘‘m’’ y ‘‘n’’ números enteros. Si: (x  3+ 2 2 ) es un factor del polinomio: mx3  11x2  nx+1 Calcular (m2 +n2 +1) y el producto de las raíces. A) 11 y 2 B) 21 y –1/2 C)21 y 2 D) 11 y –1/2 E) 2 y 3 RESOLUCIÓN: * En: P(x)=mx3  11x2  nx+1 * Si: x = 3  2 2 También: x=3+2 2  (x  3+ 2 2 )(x  3  2 2 )=x2  6x+1 * Osea que: x2 – 6x+1 es factor del polinomio: 3 2 2 mx 11x nx+1 x 6x+1     división exacta. * Dividiendo por Horner: 1 6 36 – 6n 6 –n 6 – n 0 –1 1 1 – 11 0 m n – 6 – 1 * De donde: 2 2 24 6n=0 n= 4 m 2=0 m= 2 m +n +1= 21      * Producto de raíces = –1/2 RPTA: ‘‘B’’ 322 PROBLEMA 15: Resolver: x3 – 15x –126=0 RESOLUCIÓN: * Sea x = y + z la solución de la ecuación, se tiene: 3 3 3 x 3 3 (y+z) 15x 126=0 y +z +3yz(y+z) 15x 126=0 (y +z 126)+(3yz 15)x=0          * Cumpliendo cuando y3+z3 =126  yz=5 * De donde: y3+z3=126 ; y3z3=125 * La ecuación resolvente (de raíces y3, z3) es : r3  126r+125=0  r=125  r=1 * Entonces: y3=125, z3=1 y=5, z=1 * Luego:   1 2 2 2 3 x =5+1=6 1 3 1 3 x =5w+w =5 + i + i 2 2 2 2 1 3 1 3 x =5w +w= 5 i + + i 2 2 2 2 C.S.= 6; 3+ 2 3i; 3 2 3i                                   PROBLEMA 16: Dada la ecuación x3  3x+5=0 , si  es una solución real, calcule ( 2+2) 1     A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 RESOLUCIÓN: * Como  es solución, se cumple: 3 3 2 2 3 +5=0 +2 5 +5=0 ( +2) ( +2)=5( 1) =5 1                   RPTA: ‘‘E’’ PROBLEMA 17: Si una raíz de la ecuación de coeficientes reales x4– 5x3 + 3x2+ ax + b = 0 es x1= 3 – i; calcule el valor de a – b. A) 24 B) 25 C) 17 D) 0 E) 26 RESOLUCIÓN: * Una raíz es: x1 = 3  i  x2 = 3+i  x1+ x2 =6  x1x2 =10 * Luego: x2 – 6x+10 es factor de: x4 – 5x3+ 3x2+ ax+ b * Por Horner: 1 6 6 – 5 1 –10 1 1 3 0 a b 6 0 –10 –10 10 –1 –6 . a=16 y b= 10 * Entonces: a – b=26 RPTA: ‘‘E’’ PROBLEMA 18: Si  es una raíz irracional del polinomio: P(x)= x5  (x4+2x+1) Halle un valor de:  3 +1  A) – 2 B) 1 C) – 1 D) 0 E) 3 RESOLUCIÓN : * Factorizando, resulta: 5 4 3 2 3 2 P(x)=x x 2x 1=(x +x+1)(x x 1)=0 x + x+1=0 x x 1=0          * Sea  la raíz irracional de x3+x+1=0   3++1=0  3+1= ;   0 * Se pide: 3+1 = = 1       RPTA: ‘‘C’’ PROBLEMA 19: Si ‘‘m’’ es un número primo, indicar el menor valor de ‘‘m’’ para que la ecuación: x3+7x2+13+m=0 Admita una solución racional. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 RESOLUCIÓN: * Las posibles raíces racionales son:  1;  m * Ahora evaluemos para x= –m, resulta: – m3+7m2–13m+m=0 * Factorizando resulta: m(m – 3)(m – 4)=0 * Cosa que de todas las raíces, se tiene que m=3 es el menor número primo (comprobar). RPTA: ‘‘C’’ PROBLEMA 20: Si la ecuación cúbica: x3– 2x2+x+5=0 tiene raíces a, b, c; Calcular: 1 1 1 + + a+1 b+1 c+1 323 A) 2 B) – 8 C) 4 D) 0 E) 6 RESOLUCIÓN: * Por Cardano –Viéte: a + b + c = 2; ab + ac + bc = 1; abc = – 5 * Nos piden: 1 + 1 + 1 a+1 b+1 c+1 * Efectuando esto último: (b+1)(c+1)+(a+1)(c+1)+(a+1)(b+1) = (a+1)(b+1)(c+1) bc+ac+ab+ 2(b+c+a)+3 = 1+(a+b+c)+(ab+ac+bc)+abc 1+ 2(2)+3 8 = = = 8 1+ 2+1 5 1    RPTA: ‘‘B’’ PROBLEMA 21: En la ecuación bicuadrada x4–(m–5)x2+9=0 el producto de tres de sus raíces es 3 , entonces el valor de m, es: A) 6 B) 8 C) 11 D) 13 E) 15 RESOLUCIÓN: * Por Cardano: 1 2 3 4 3 xxx x =9  x4=3  x3= 3 ...........(raíces simétricas) * De donde se deduce que: x1=1 y x2=–1 * Luego la ecuación bicuadrada será: 4 2 2 2 2 2 4 2 x (3 +1 )x +(3) (1) =0 ........(ver teoría) x 10x +9=0    * Entonces: m 5=10  m=15 RPTA: ‘‘E’’ PROBLEMA 22: Si la ecuación bicuadrada: x4–(a+1)x2+3a=12 posee dos raíces reales de multiplicidad 2. Calcular el valor de ‘‘a’’. A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 RESOLUCIÓN: * Sean las raíces reales de multiplicidad 2:  y ( ) 2 2 4 2 4 2 2 4 4 2 ( x ) ( x+ ) =x (a+1)x + 3(a 4)=0 x 2 x + =x (a 1)x +3(a 4)=0              * Comparando obtenemos: a  1= 2 2  3(a 4)= 4 * De donde obtendremos: 2 2 2 (a 1) =12(a 4) a 14a+49=0 (a 7) =0 a=7        RPTA: ‘‘D’’ PROBLEMA 23: La ecuación: x4–12x2–5=0 contiene a dos raíces cuya suma es igual a 2. Hallar la suma de las inversas de las otras dos raíces. 1 2 2 2 7 A) B) C) D) E) 5 7 7 5 9   RESOLUCIÓN: * Sea x1 y x2 raíces tales que x1+x2=2; también sean x3 y x4 las otras dos raíces, piden: 3 4 3 4 3 4 1 1 x + x + = x x x x * Por Cardano: 1 2 3 4 3 4 1 2 1 3 2 4 2 3 2 4 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x +x +x +x =0 x +x = 2 x x +x x +x x +x x +x x +x x =0 x x +(x +x )(x +x )+ x x =0 x x +( 2)(2)+ x x =0...........................(I)      * Observamos que 1 2 3 4 1 2 3 4 5 x x x x = 5 x x = x x    * Reemplazamos en (I): 2 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 5 4+ x x =0 (x x ) 4x x 5=0 x x (x x 5)(x x +1)=0 x x =5 x x = 1           * Entonces lo pedido, será: 3 4 3 4 x + x 2 2 = = x x 5 5   RPTA: ‘‘D’’ PROBLEMA 24: Si la ecuación x4–10x2+b=0 tiene como raíz al número a+ a+1, entonces el valor de M=a+b, es: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 RESOLUCIÓN: * Como tiene a la raíz: x= a+ a+1 2 2 2 2 2 2 4 2 x a = a+1 (x a ) =a+1 x 2 ax+a= a+1 x 1= 2 ax (x 1) =4ax x 2(2a+1)x +1=0             * Comparando con la ecuación dada: 2(2a+1)=10 b=1 ; (a>0) a=2 b=1 M=a+b=3     RPTA: ‘‘C’’ PROBLEMA 25: Al resolver la bicuadrada: P(x)=x4–(3n–1)x2+n(2n–1)=0 si n0) las raíces son x2 , x3  x2x3=1 * Luego: 4 5 1 2 3 1 x + x 2 1 S= = = x x x 1 1 2    RPTA: ‘‘B’’ PROBLEMA 31: Si dos de las raíces del polinomio: P(x)=x5  7x4+ax3+bx2+cx+d de coeficientes racionales son 1+ 2 ; 3  2 . Halle el valor de a b c+1  . A) 1 B) 2 C) 0 D) – 3 RESOLUCIÓN: * Las raíces son: 1 3 2 4 x =1+ 2 x =3 2 x =1 2 x =3+ 2   porque sus coeficientes son racionales. * Luego formando el polinomio f(x) factor de P(x). 2 2 1 2 1 2 3 4 3 4 2 2 4 3 2 f(x)=( x (x + x )x+ x x )( x (x + x )x+ x x ) f(x)=(x 2x 1)(x 6x+7) f(x)= x 8x + 20x 8x 7           * Dividiendo P(x) f(x) por Horner: 1 8 – 7 0 a 1 – 20 1 – 20 8 b – 20 1 0 c 0 0 d 8 8 7 8 7 8 7  a=12 ; b=12 ; c=15 ; d= 7 * Se pide: a b 12 12 = =0 c+1 15+1    RPTA: ‘‘C’’ PROBLEMA 32: Si: x1=5+3 2 es una raíz de la ecuación: 2x3 – 23x2+mx+n=0; calcular ‘‘m’’ si m,n A) 28 B) 44 C) 36 D) 0 E)12 RESOLUCIÓN: x1=5+3 2 es raíz  x2=5  3 2 también es raíz, luego: x1+x2=10 * Por Cardano: 1 2 3 3 3 23 23 3 x +x +x = 10+ x = x = 2 2 2   * Además: 1 2 2 3 1 3 m = x x + x x + x x 2 m 3 3 =(5+3 2 )(5 3 2 )+(5 3 2 ) +(5+3 2 ) 2 2 2 m = 22 m= 44 2      RPTA: ‘‘B’’ PROBLEMA 34: Si P es una función polinomial demenor grado posible con coeficientes enteros , que admita como raíces a x=1+ 2i ; x=1  5 3 y x= 5 entonces el grado del polinomio es: A) 9 B) 8 C) 7 D) 5 E)2 RESOLUCIÓN: * P(x) demenor grado posible y de coeficientes enteros, además de raíces: x=1+2i ; x=1 5 3 ; x=5, I) x=1+2i, proviene de: x–1=2i  (x  1)2= 4  (x  1)2 +4=0 II) x=1  5 3 , proviene de: x  1= 5 3  (x  1)5= 3 (x  1)5 +3=0 III) x=5 proviene de x – 5=0 * Luego, el polinomio será: P(x)= (x  1)2 +4 (x  1)5 +3 (x  5) q(x) * Como P(x) es de grado mínimo, entonces q(x) es de grado cero, luego: 2 5 P(x)= (x  1) +4 (x  1) +3 (x  5) a0 ; a0  0 * Finalmente el grado de ‘‘P’’, será: 2+5+1=8 RPTA: ‘‘B’’ 326 PROBLEMA 35: Determinar cuál de los siguientes polinomios tiene como una de sus raíces al número: 2+3 3 6 4 3 2 6 4 3 2 6 4 3 2 6 4 3 2 A)2x 3x +9x 12x +6x+1 B) x 6x 6x +12x 36x+1 C)2x 9x +3x 12x 36x+1 D) x 6x +12x 12x 6x+1            RESOLUCIÓN: * Como: x= 2+3 3 es una raíz del polinomio, luego:           3 3 3 3 3 2 2 3 3 2 x 2 = 3 x 2 = 3 x 3x 2 +3x 2 2 =3 x 3 2x +6x 2 2=3          *Agrupando:   3 2 3 2 2 2 2 6 2 4 3 4 2 x +6x 3= 2(3x +2) (x +6x 3) = 2 (3x +2) x +36x +9+12x 6x 36x= 2(9x +12x +4)       * Simplificando y ordenando, tenemos: x6–6x4–6x3+12x2–36x+1=0 RPTA: ‘‘B’’ PROBLEMA 36: En la siguiente ecuación: 8x4+30x3+29x2–2x–30=0, determinar la suma de las raíces racionales. 13 7 1 7 13 A) B) C) D) E) 4 4 4 4 4    RESOLUCIÓN: * Factorizando, resulta: 5 4x2 x2 3 (8x2+14x  15)(x2+2x+2)=0 2 1 2 (4x 3)(2x+5)(x + 2x+ 2)=0 3 * 4x 3=0 x = 4 5 * 2x+5=0 x = 2       * x2+2x+2=0; no tiene raíces reales (en particular, racionales) * Luego: 1 2 3 5 7 x +x = = 4 2 4   RPTA: ‘‘B’’ PROBLEMA 37: Dado un polinomio P(x)=x2– ax+b de coeficientes reales; si P(x)0 y b1 E) P(x)0 II) a2+b2=13 III) 2a=b A) VFF B) FFF C) VVF D) FVF E) VVV RESOLUCIÓN: * Como: x1=1+ 7  x2=1 7 , luego: x2  (1+ 7+1 7 )x+(1+ 7 )(1 7 )=x2  2x  6, será un factor de P(x), * Luego por Horner: 1 2 –4 2 a 0 b 6 1 6 1 4 0 –43 –23 2 8 4 14 a+2= a= ,b+6 =0 b= 3 3 3 3        * Luego: 2 2 2 2 ........................(VERDADERA) ......(FALSO) .........................(FALSO) 8 14 I) ab= > 0 3 3 8 14 300 II)a +b = + = 3 3 9 16 14 III)2a= =b 3 3                                RPTA: ‘‘A’’ PROBLEMA 42: Sea P una función polinomial de grado 7 con coeficiente principal –1 y cuya gráfica se muestra en la figura adjunta. Si P(2)=18, entonces el término independiente es: Y –1 3 4 A) 282 B) 292 C) 324 D) 325 E)372 RESOLUCIÓN: * Según la gráfica de la función polinomial: –1 es una raíz de multiplicidad par; también 3 es demultiplicidad par; 4 es una raíz simple. * Admitiendo que P(x)=0 sólo tiene raíces reales, el 328 polinomio debe ser: 2k 2q P(x)=a0(x+1) (x  3) (x  4) * Donde: a0= –1 4 2 4 2 2 4 G.A.(P)=2k+2q+1=7 k+q= 3 (k=2 q=1) (k=1 q=2) * k=2 q=1, P(x)= (x+1) (x 3) (x 4) P(2)= (3) ( 1) ( 2)=162 ...........(no cumple) * k=1 q= 2 , P(x)= (x+1) (x 3) (x 4) P(2)=                    Si : entonces : Si : entonces : (3)2(1)2(2)=18 ...............(si cumple) * Luego: P(0)=–(1)2(–3)4(–4)=324 RPTA: ‘‘C’’ PROBLEMA 43: En la figura adjunta se muestra la gráfica de una función polinomial P,mónico de cuarto grado. La suma de las raíces reales de la ecuación P(2 x+7 +1)=0 es: Y –9 3 5 7 X A) – 42 B) – 40 C) – 39 D) – 38 E) – 37 RESOLUCIÓN: * De la figura, teniendo en cuenta que P es mónico y de cuarto grado: P(x)=(x+9)(x 3)(x 5)(x 7) P(2 x+7 +1)=(2 x+7 +10)(2 x+7 2) (2 x+7 4)(2 x+7 6)=0       *Nótese que: 2 x+7 +10=0 no tiene soluciones reales, entonces: 1 2 3 4 5 6 I) 2 x+7 2=0 x+7 =1 x = 6 x = 8 II)2 x+7 4=0 x+7 =2 x = 5 , x = 9 III)2 x+7 6=0 x+7 =3 x = 4 , x = 10                 * Luego: x1+x2+x3+x4+x5+x6=–42 RPTA: ‘‘A’’ PROBLEMA 44: Si P es una función polinomial definida por P(x)=x3– 6x2+11x – 6 entonces la figura que mejor representa la gráfica de P es: X Y X Y X Y X Y A) B) C) D) RESOLUCIÓN: * De: P(x)=x3–6x2+11x–6  P(x)=(x  1)(x  2)(x  3) * P tiene raíces: 1; 2; 3. Su gráfica es: Y 1 2 3 X –6 RPTA: ‘‘D’’ PROBLEMA 45: Indicar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I) Sea P(x) un polinomio definido sobre  , si una raíz es 2  7 entonces necesariamente 2+ 7 es también la otra raíz. II) Un polinomio P(x) de quinto grado definido sobre  puede tener exactamente 2 raíces reales. III) El polinomio P(x)=(x2–4)(x+2) es tangente al eje X, en x=–2. A) FVV B) VVV C) FFV D) VFV E) FFF RESOLUCIÓN: I) Para P(x) definido en  . Si una raíz es 2  7  no necesariamente 2+ 7 también es raíz .......................................... (FALSA) II) Un polinomio P(x) definido sobre  de quinto grado puede tener exactamente: 1; 3 ó 5 raíces reales .............................. (FALSA III) P(x)=(x2–4)(x+2)=(x+2)2(x–2) y su gráfica será: Y 2 X –8 –2 329 * Como – 2 es de multiplicidad 2, la gráfica de P es tangente al eje X en x=–2 ....... (VERDADERA) RPTA: ‘‘C’’ PROBLEMA 46: Resuelva en  : x  1+ 3  x = x Indique el cardinal del conjunto solución. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 1 RESOLUCIÓN: * Hallando el conjunto de valores admisibles x 1 0 3 x 0 x 1 3 x 1 x 3 ; si x             y y * Entonces: x {1; 2; 3} este conjunto debe contener el conjunto solución de la ecuación, ahora al evaluarse sólo cumple el número 2, es decir C.S.={2}  Cardinal del C.S. es 1. RPTA: ‘‘E’’ PROBLEMA 47: Si T es el conjunto solución de la ecuación 2+ x  5 = 13  x , entonces la afirmación correcta es: A) T 4; 6 B)T 5; 6 C)T 8; 10 D) T 12; 14 E)T 14; 15      RESOLUCIÓN: * Nótese que: CVA: x  5  0  13  x  0   CVA: x 5 x 13 CVA: 5 x 13 CVA= 5; 13         * De la ecuación:   2 2 1 1 2 2+ x 5=13 x x 5=11 x ; 11 x 0 x 5=(11 x) ; x 11 x 23x+126=0 ; CVA = 5; 11 x =9 , x =14               * Pero: x2  CVA1  x= 9 es la única solución de la ecuación (x1  CVA) * Luego: T =9  8; 10 RPTA: ‘‘C’’ PROBLEMA 48: Dada la ecuación x+1+2x=0 determinar el valor de verdad de cada una de las afirmaciones siguientes: I) Si la ecuación tiene una solución esta debe estar en el intervalo 1; 0 . III) La ecuación tiene una única solución. A) VFV B) FVV C) VVF D) VFF E) VVV RESOLUCIÓN: + + 1) x+1  0  x  1 2) x+1 = 2x  x< 0 * Luego I) La solución se encuentra en el intervalo [–1; 0] ........................(VERDADERO) II) La ecuación tiene una única solución (FALSO) III) (VERDADERO) RPTA: ‘‘A’’ PROBLEMA 49: Hallar el valor de x, que verifica: 3 14+ x +3 14  x=4 A) 179 B) 165 C) 170 D) 169 E)150 RESOLUCIÓN: * Haciendo: a= 3 14+ x y b= 3 14  x * Luego: 3 3 3 2 a+b= 4 .....................................(I) a +b =28 ................................(II) ab= 14  x ............................(III) * Elevando (I) al cubo, resulta: a3+b3+3ab(a+b)=43 * Reemplazando en esta (II) y (III): 28+33 142  x(4)=64 * Despejando, resulta: x=169 RPTA: ‘‘D’’ PROBLEMA 50: Si A es el conjunto solución de la ecuación 1 1 x= x + 1 , x x   entonces el conjunto A es: 1+ 5 5 1 2+ 5 1+ 5 A) ; B) ; 2 2 2 2 1+ 5 1+ 5 3 5 C) D) ; 2 2 2                           RESOLUCIÓN: 2 1 1 * CVA: x>0 x 0 1 0 x x x>0 x 1 x 1 x 1 CVA= 1; +                 * La ecuación puede ponerse así: 2 3 2 2 3 2 3 2 x x = x 1+ x 1 x = x 1+ x 1+2 (x 1)(x 1) x x x+1+1= 2 x x x+1             330 * Haciendo: x3  x2  x+1=a se tiene: a+1=2 a, de donde: a=1 * Luego: x3  x2  x+1= 1  2 2 + x (x x 1)=0 x x 1=0 1 5 1 5 x= , CVA 2 2 1+ 5 A= 2                  pero RPTA: ‘‘C’’ PROBLEMA 51: Resolver: 2 x 6 x 5 + = 6 x 2 x 2   RESOLUCIÓN: * Haciendo: 2 x 6 x 1 = y = 6 x 2 x y    * En la ecuación original: y+ 1= 5 y 2 2y2 5y+ 2=0 (2y 1)(y 2)=0 1 y= 2 y= 2       ó * Para: 2 x y= = 2, x =6 x 6 x     2 x =6  x=9 * Para: 2 x 1 y= = , 4 x =6 x 6 x 2    36 5 x =6 x= 25   * Entonces: C.S.=9; 36 25 PROBLEMA 52: Al resolver la ecuación: 3 2 x +1 6 = x+ x  1 x Indicar una solución. 3 2 3 A) B) C)1 D) 2 E) 2 3 4  RESOLUCIÓN: * Definiendo cada expresión matemática x2  1  0  x  0  x   1  x  0 .....(C.V.A.) * Efectuando: 2 2 2 2 2 (x+1)(x x+1) 6 x x+1 6 =x+ x= (x+1)(x 1) x x 1 x 1 6 1 6 = ; x 1>0 = x 1 x (x 1) x x=6x 12x+6 x>1 0=6x 13x+6 x>1 2 3 x= x= x>1 3 2 3 3 x= C.S.= 2 2                                  RPTA: ‘‘A’’ PROBLEMA 53: Si x1 , x2  y {x1; x2} es el conjunto solución de la siguiente ecuación 4 x+ 27 +4 55  x = 4 , entonces el valor de, T=x1+x2 es: A) 54 B) 32 C) 28 D) – 28 RESOLUCIÓN:   * C.V.A.: x+ 27 0 55 x 0 C.V.A.= 27; 55       * Sea: 4 x+ 27 = y  x= y4  27  y  0 * Reemplazando en la ecuación: 4 4 4 4 4 y 4 2 3 4 4 3 2 y+ 55 (y 27)=4 82 y =4 y CVA = 0; 82 . 82 y = 256 256y+96y 16y + y y 8y +48y 128y+87 =0              A la cuarta : 29 3 y 4y 2 y2 4y  y2  4y+29=0  y2  4y+3=0 * La primera no tiene soluciones reales * De la segunda: y1 =1  y2 =3 (1; 3 CVAy ). Luego: *Paray1=1: x1=14–27=–26C.V.A. * Para y2=1: x2=34–27=54C.V.A. * Se pide: T= –26 + 54=28 RPTA: ‘‘C’’ PROBLEMA 54: Si B es un conjunto definido por: B=x / x+ x+5+2x=25  2 x2+5x, entonces el cardinal del conjunto B, es: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 RESOLUCIÓN: 331 * De la ecuación se obtiene:     2 2 2x+ x+ x+5 25+2 x +5x=0 x+x+5+2 x(x+5)+ x+ x+5 30=0 x+ x+5 + x+ x+5 30=0     x+ x+5 x+ x+5 6  5  x+ x+5+6=0  x+ x+5  5=0 * La primera no tiene solución, pues el primermiembro siempre es positivo. * De la segunda: x+5=5  x nótese que: para el CVA:   x 0 x+5 0 5 x 0 x 0 x 5 0 x 25 CVA= 0; 25               * Luego, elevando al cuadrado:   x+5= 25+ x 10 x x = 2 x=4 , (4 CVA) B= 4 n(B)=1       RPTA: ‘‘B’’ PROBLEMA 55: Si T es el conjunto solución de la siguiente ecuación 3x  4+ 2x  3  5x  7 = 0, entonces la afirmación correcta es: 3 1 A ) T 0 ; B ) T ; 1 4 2 3 3 C ) T 1 ; D ) T ; 2 2 2           RESOLUCIÓN: * CVA: 3x 4 0 2x 3 0 5x 7 0 4 3 7 x x x 3 2 5 3 3 x CVA= ; + 2 2                     * En la ecuación, al cuadrado: 3x 4+ 2x 3+2 (3x 4)(2x 3)=5x 7 2 (3x 4)(2x 3)=0         * De donde: 1 2 x =4 x =3 3 2  * Pero: 1 2 x = 4 CVA ; sólo x CVA 3   1 2 4 3 3 x = CVA ; x CVA T= ; 2 3 2 2             sólo RPTA: ‘‘D’’ PROBLEMA 56: Resuelva e indique la cantidad de soluciones: x+1+ x+2+ x+3+ x+4=4 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 RESOLUCIÓN: * Hallando primero el conjunto de valores admisibles (C.V.A.), así: x+1 0 x+ 2 2 x+3 3 x+4 4 x 1;              * Entonces como: x 1 x+2 1 x+2 1 x+3 2 x+3 2 x+4 3 x+4 3 x+1 0 x+1 0 x+1+ x+ 2+ x+3+ x+4 4,14...                     Es imposible que la suma sea 4. * Con lo que: C.S.= * Número de soluciones es igual a 0. RPTA: ‘‘A’’ PROBLEMA 57: Si la fracción irreductible a/b es raíz del polinomio: x5+x– 10=0 entonces: a 5 a 5 3 a 3 7 A) 1; B) ; C) ; b 4 b 4 2 b 2 4    RESOLUCIÓN: * Aplicando el teorema de Bolzano: 5 a f(x)= x +x 10; = x f(0) 0 x < 1; 2 >       cambio de signos entre y * Realizamos una 1ra. aproximación: 1+ 2 3 x = = 2 2 2 3/2 f(3/2)< 0 x < 3/2; 2 >      cambio de signo entre y * Realizamos una nueva aproximación: 2+ 3/2 x = =7/4 2 3/2 7/4 f(7/4)> 0 x < 3/2; 7/4> 3 7 x ; 2 4        cambio de signo entre y 332 * Entonces: a 3 ; 7 b 2 4  RPTA: ‘‘C’’ PROBLEMA 58: Resolver: 240x5+572x4–564x3–1257x2–31x+60=0 RESOLUCIÓN: Las posibles raíces racionales son de la forma: r= p/q, donde p es un divisor de 60 y q un divisor de 240. * Vemos que: P(1) < 0 y P(2) > 0; luego , existe por lo menos una raíz real en . * Tomamos las raíces racionales comprendidas en dicho intervalo; así 3/2. es raíz, lo comprobaremos por ruffini: 240 572 564 1257 31 60 3 360 1398 1251 9 60 2 240 932 834 6 40 0        *De manera similar encontramos: x2=–5/2; x3=–1/ 4; x4=3; x5=–20 PROBLEMA 59: Resolver: x8 + 4x6– 4x2 – 1=0 RESOLUCIÓN: * Las posibles raíces racionales son: 1 y –1. Vemos que ambas satisfacen. Luego: x8 + 4x6 4x2 –1=0  (x–1)(x+1)(x6+5x4+ 5x2+1)=0 * pero: x6+5x4+5x2+1=(x2+1)(x4+4x2+1) * entonces la ecuación resultará: (x–1)(x + 1)(x2+1)(x4+4x2+1)=0 cuyas raíces serán:     1 2 3 4 5 6 7 8 x =1; x = 1; x =i; x = i ; x = 3 2 ; x = 3 2 ; x = 2+ 3 ; x = 2+ 3         PROBLEMA 60: Calcular aproximadamente una raíz quinta real de  . RESOLUCIÓN: Calcular aproximadamente una raíz quinta real de - Sea : Por otro lado, sea : Aplicamos el método de Newton - Raphson : Eligiendo obtenemos : 5 5 5 4 5 n n+1 n n 4 n 4 n 0 1 * z = x + =0. * P(x)= x + P (x)= 5x F(x ) x + 4 x = x =x = x F (x ) 5x 5 4x * x =1, x = 1,4283184                   Luego : sera la raíz pedida con la aproximación deseada 2 3 4 ; x = 1,29936208 ; x = 1,25926 ; x = 1,2572804 * x= 1,26     PROBLEMA 61: Sean los polinomios: P(x)= x4+ ax3 + bx2 + cx + 1 Q(x)= x4+ cx3 + bx2 + ax + 1. Hallar las condiciones que deben cumplir los parámetros reales a, b y c (a  c) para que P(x) y Q(x) tengan dos raíces comunes . RESOLUCIÓN: * Las raíces comunes a ambos polinomios serán raíces de la diferencia: P(x)–Q(x)=(a–c)x3+(c–a)x * Resolvemos la ecuación: P(x)–Q(x)=0, sacando primero x factor común: x[(a — c)x2 +(c — a)x]= 0 * Las tres raíces son: 0; 1 y –1, entre ellas tienen que estar las raíces comunes. * Como 0 no es raíz ni de P(x) ni de Q(x), las dos raíces comunes tiene que ser 1 y –1. * Sustituyendo estos valores en P(x) yQ(x) obtenemos el sistema: 2+a+b+c=0 2 a+b c=0     que nos da las condiciones: b=–2 ; a=–c * Los polinomios quedan en la forma: P(x)=x4 + ax3 – 2x2 – ax+1 Q(x)=x4– ax3– 2x2+ax+1 * Para resolver las ecuaciones P(x)=0, Q(x)=0, separamos por Ruffini las raíces conocidas 1 y –1 y quedan las ecuaciones en la forma: P(x)=(x+1)(x–1)(x2 + ax – 1)=0 Q(x)=(x+1)(x–1)(x2– ax – 1)=0

Ejercicios resueltos de examen de admisión a la Universidad